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使用小波变换的图像去噪
摘要：
图像去噪是图像处理模式识别和计算机视觉领域的基本过程。图像去噪的主要目标是增强或恢复含噪的图像，并帮助其他系统（或人类）更好地理解它。在本论文中，我们讨论了一些使用小波变换进行图像去噪的有效方法。由于Donoho提出了一种简单的阈值方法，因此已经提出了许多不同的方法十年。他们已经表明，使用小波变换去噪会产生出色的结果。这是因为小波变换具有只有少量大系数和大量小系数的压缩特性。在论文的第一部分，介绍了一些重要的小波变换用于图像去噪和现有方法的文献综述。在后面的部分中，我们提出了两种不同的图像去噪方法。第第一种方法是利用相邻小波系数之间的高阶统计耦合及其在父级中的相应系数以及有效的平移不变小波变换。另一种是基于多变量统计建模，并使用贝叶斯方法在一般规则中估计干净系数。各种估计表达式可以通过称为多元广义高斯分布（MGGD）的先验概率分布来获得。该方法可以考虑各种相关信息。实验结果表明，我们的两种方法比其他方法提供相对较高的PSNR和较少的视觉伪影。
内容
第1章 引言
图像恢复和增强是图像处理中的基本问题。在[47]中，冈萨雷斯和伍兹描述了恢复的主要目的是通过使用降级规则的先验知识来改善损坏的图像，而增强的目标是获得比原始图像更好的图像总而言之，恢复是一个完整的过程，而增强是一个主观过程。在这两种情况下，图像去噪（有时称为去噪或降噪）对实现这些对焦起着重要作用。去噪是一种消除图像中现有噪声并最小化（假定）干净图像中信息丢失的程序。在过去的二十年中，小波变换一直是许多科学和工程学中的流行研究课题，以及纯数学。在信号和图像处理领域，小波变换往往取代傅立叶变换的作用。由于Mallat引入了多分辨率分析（MRA）理论[66,67,68]，除了去噪之外，小波还被用于多种图像处理应用，如压缩，图像分析，计算机图形学和水印。这些算法被用作计算机视觉和模式识别领域的低级处理单元。在离散域中，小波理论与信号处理的滤波理论相结合。小波域中的系数具有大量小系数表示图像中不太重要的细节，并且少量大系数保持重要信息的性质。因此，一个权利假设小波域中的去噪可以通过杀死代表细节的小系数以及噪声来实现。基于这个简单的想法，Donoho提出了一个简洁的小波域去噪算法，称为小波阈值[35,33]。如果我们假设A是大小为n的干净数据（信号或图像），B是具有加性高斯白噪声（AWGN）N（O，）的噪声数据，则降噪方案总结为三个阶段，如下所示：
1.将有噪数据B分解成正交小波域。 2.通过使用像的阈值，对小波域中的系数应用特定的阈值规则。 3.使用反向离散小波变换从阈值工作系数中重构去噪数据。
图1：利用DONOHO的UNIVERSAL THRESHOLD应用的狒狒图像的降噪示例，原始图像（左上）， = 30（18.62 dB;右上）的噪声图像，使用软阈值的降噪图像（19.80dB;左下 ），使用硬阈值的去噪图像（20.32dB;右下）。
图1显示了当我们使用通用阈值时的降噪图像的一个例子。这表明阈值方法有助于去噪和平滑，但同时它使很多细节丢失。即使去噪图像产生更好的峰值信噪比（PSNR），我们也可以看到它们失去了很多细节。对于图像去噪，噪声的定义是至关重要的。在图1中，原始的干净图像具有许多细节，因此噪音在添加噪音后不会与细节明显区分，特别是在猴子的头发中显示。例如，从全面的角度来看，它可能是同一地点的噪音或细节。如果我们假设定义了所需的干净图像，则有关噪声的另一个定义是它的类型。可能存在许多类型的噪声模型，包括AWGN，椒盐噪声，相关噪声和均匀噪声。在本论文中，我们主要关注高斯加性白噪声，即使还考虑了其他类型的噪声。
在本论文中，我们把小波变换作为对图像去噪的有益的数学图像处理工具来进行测量。在过去的十年里，已经提出了许多基于上述小波阈值方法框架的不同方法。然而，所有的方法都有相同的目标，即获得能够满足人类视觉系统或机器感觉系统的改进图像，以在图像中获得更好的特征。我们介绍各种现有的和新的去噪方法，并对其进行视觉和数字评估。本论文的组织结构如下。在下一章中，简要介绍了小波变换的入门理论，并给出了各种对去噪有效的小波变换。我们对第3章中已有的去噪算法进行了分类和评论。第4章提出了几种新的小波收缩算法。这些算法利用小波域中相邻系数的信息，例如邻居或父亲。此外，小波系数的新估计规则基于第5章中的贝叶斯估计的多元统计建模。在第6章中，我们给出了实验结果和性能评估。最后，我们将在第7章中做出结论和未来的工作。
第2章 小波变换
小波变换是图像和信号处理的重要工具。在文献中使用小波的许多去噪方法表明小波对于图像去噪非常有效。与傅里叶变换不同，小波变换通过称为母函数的基函数小波函数来分解时间和尺度的输入数据。因此可以设计具有不同属性的各种类型的小波。此外，研究人员开发了不同类型的方法，通过填补一些可能的缺陷来加强理论。例如，MRA理论已经结合离散小波变换（DWT）在图像处理中发挥关键作用。从信号处理中过滤理论使理论更有成果。结果，存在许多种小波算法。在本章中，我们简要回顾一下可以由滤波器组解释的DWT，并且它比图像处理领域中的连续小波变换更多地被使用。关于小波变换的更基础和广泛的理论在很多书中都有很好的讨论[95,24,30,68]。认1e也简要介绍了几种对图像去噪有效且有前途的小波变换。它们包括平移不变小波，多小波，复小波和方向小波。
图2：一维多分辨率小波变换
2.1标量小波变换假设
x =（x1，x2，...，xn是一个N维向量，它是长度为N的一维（1D）离散信号。还假设h =（h1，...，hp和g =（g1，...，gp分别为长度为p的低通（缩放）和高通（小波）滤波器。通过滤波理论，请注意，h和g是相等长度的滤波器，并且具有以下这种关系：。这种滤波器组被称为正交镜像滤波器（QMF），在这种情况下，所产生的变换可以通过滤波器h，g和输入端的输入来执行数据x。
2.1.1多分辨率分析多分辨率分解的思想是基于金字塔编码
在分散的数据域中，数据的分辨率是细节的层次。由于小波变换可以在不同尺度上进行分析，因此可以得到不同分辨率的小波域，并且可以进行“不变解释”的转换。这个想法绘制了多分辨率分析。图2显示了MRA分解和重建的整个过程。这种表示使我们能够通过简单的分层框架和粗到细分析来解释输入数据。简言之，通过MRA和逆小波变换（IWT）对第j级输入信号x的前向小波变换（FWT）可以简单地使用卷积表示为：
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( 1 ) |
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( 2 ) |
其中Wj和Vj是小波和第j级缩放系数的矢量。 wj和Vj可以用于FWT的下采样和IWT的上采样。 正如Daubechies [30]所证明的那样，通过下采样分解的输入数据x可以在不丢失任何数据的情况下进行重构。
2.1.2二维小波变换
有几种方法可以执行二维（2D）小波变换，如不可分离变换[90]，矩形，可分离变换[50]和方形可分离方法。 其中，最流行和最有用的方法是通过对所有行应用两个lD操作，然后对每个分解级别应用所有列，使用方形e形分离方法。 另一方面，矩形可分变换将lD WT应用于所有的缩放系数行，直到操作达到最后的分解级别。 然后对列方向进行相同的处理。 这两种方法之间的区别可以在图3中找到。我们假设通常的二维小波变换表示本文中的平方圆形分离方法。
图4：2D可分离小波变换
可以以与等式（1）的1D FWT类似的方式获得第j级的2D FWT：
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( 3 ) |
上标LH，HL和HH表示低通滤波器和高通滤波器的二维组合。 同样，2D IWT可以表示如下：
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( 4 ) |
在图4所示的二维小波域中，每个正方形小波系数组被称为一个子带（图2中的每个单独的分组也是一个子带）。 在二维图像中，每个分解级别可以有四个滤波后的子带，LL，LH，HL和HH。 标记为LH1，HL1和HH1的子带是最好级别的小波系数组。 下面较粗级别的子带LH2，HL2和HH2从较细级别LL1中的缩放系数获得。 我们说，由相同滤波器生成的一个子带及其相邻子带的子带具有子子关系。 例如，HH3是HH2的一个子测试带，当前子带HH2是一个孩子。 我们还称当前子节点子带中的子带为更精细的子带。 在相同的例子中，HH1相应地是HH2的后代子带。 这种类型的多分辨率表示被称为子带编码。 整个论文中我们使用这个方案对图像进行二维小波变换。
2.2平移不变小波变换
平移不变（TI）小波变换通过滤波移位系数以及每个分解级别的原始值来执行MRA。 TI WT也被称为shiftinvariant（SI）小波变换[15]或时不变[95]。 这种方法是冗余的，因为根据移位产生具有与同一源不同特性的附加小波系数。 因此，获取比通常分解更多的小波系数，但是这种冗余分析对于去噪是有用的。 事实上，Coifman和Donoho [27]表明TI WT去噪方法比使用通常标量小波的去噪方法产生更少的均方误差（MSE）和视觉伪影。 使用TI方法的更有趣的结果可以在Chen的论文中找到[16,17]。
2.2.1 1D TI小波变换
通过改变每个电平的缩放系数，TI FWT可以从FWT扩展。 设RShift（·）和LShift（·）分别为右侧和左侧的循环移位函数。 对于每个j级，小波系数的双倍大小从j 1级的移位和非移位缩放系数获得。 因此，TI TI FWT和TI IWT可以概括为
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( 5 ) |
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( 6 ) |
其中是第j级第i个小波包。 图5示出了用于1D信号的T1 FWT的多分辨率分析。 通过观察，离散TI FWT需要（J-L 1）N长度用于小波系数。
图5：1D TI小波分解
2.2.2 2D TI小波变换
2D TI WT可以直接推导出来。 二维小波分解的主要思想是依次对x和y方向这两个方向进行图像变换。 因此，我们利用四个不同的数据包，它们是未移位的，x移位（水平），y移位（垂直）和xy移位（对角）小波包。
设B是Ntimes;N图像。 我们假设RS hi f tx（·）是在x轴右侧的循环移位函数。 同样，我们可以定义RShifty（·）和RShiftx y（·）。 LShift也由RShift的相同类型定义。 然后我们可以得到下面的等式：
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(7) |
其中w7，i，HH表示由级联j中的小波系数构成的叩矩阵，其由两个方向上的高通滤波器产生并位于（h，i）块中。我们可以通过结合高通滤波器和低通滤波器来比较wjR，wfL和vjL。然后可以得到川由1小波系数，如图6所示。应该注意，在每个分解级别中使用由移位函数生成的四个缩放子带，并且每个缩放子带被分解为四个不同的子带LL，LH，HL和HH，就像通常的二维小波变换一样。因此，2D TI FWT的每个分解级别生成16个下采样子频带，而通常的2D FWT生成4个下采样子频带。对于每个分解级别j的这个过程在图6的上图中示出。除了最后的分解级别之外的比例系数v不被存储，如图6的下图所示。用于重建的2DTI I认证TT应该使用LS嗨，这可以表示如下：
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( 8 ) |
在2D中，我们可以认识到移位发生在两个不同的轴上。 因此，存在四个不同的移位分组。 当我们迭代地执行L个分解步骤时，由于对于每个级别小波包是四倍的，所以对于图像的TI小波系数所需的存储是（3L 1）N2，但仅需要最粗糙级别的LL数据包。
图6：二维TI小波分解
2.2平移不变小波变换
多小波是由多个缩放函数生成的小波，而前一节中描述的标量小波只使用一个缩放函数。这似乎很简单，但是这给出了许多优点，例如通过线性相位对称性的边界改进，可以提供具有相同大小的输入数据的完美重建的正交性以及[96]中指出的消失时刻。多小波也可以保留标量小波（如MRA）的良好性质。最受欢迎的多小波系统是GHM（由作者Geronimo，Hardin和Massopust命名）在[46]中提出。他们使用了两个对称缩放函数和它们的小波函数，它们产生了一个对称/反对称对。另一个重要的多小波系统是CL多小波（以GHM命名的Chui和Lian命名）[25]。我们可以基于标量小波理论来描述广义多小波。如果我们假设下降不等式（1），它可以在时间t上改写为wi 1（t）=艺igi吨（2t-i）和vH1（t）=艺zhivj（2t -i），其中v （t）是尺度函数，w（t）是小波表示。然后一般的多小波分解可以通过矩阵扩张来扩展如下：
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( 9 ) |
其中vj（t）是由m个缩放函数组成的矢量，Gi和Hi是mtimes;m矩阵。 换句话说，当p是每个滤波器的长度时，滤波器组H和G由p mtimes;m个矩阵组成。 在这种情况下，输入数据x需要以一组向量
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