利用高阶空间有限元法求解麦克斯韦时域方程外文翻译资料

 2022-05-16 08:05

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利用高阶空间有限元法求解麦克斯韦时域方程

摘要-本文提出了一种有限元方法用于求解时域的麦克斯韦方程组的空间阶数。在第一部分中，我们提供了数学背景方法。然后，我们讨论并比较了新方案与经典的有限差分时域（FDTD）方法的优点。几个例子显示了对于不同类型的问题使用这种新方法的优点。本文在该方法的准确性和可比性方面进行了比较，并给出了求解FDTD和有限体积之间的CPU时间的时域方法。

关键词-有限差分法，有限元法（FEM），有限体积法，高空间排序法，Maxwell方程。

1 导言

在评估电磁问题的领域时，有限差分时域（FDTD）方法是众所周知的用来解决时域中的麦克斯韦方程组的方法。然而，FDTD存在一些问题，例如存在物体形状的阶梯方法和数值方法分散的现象。为了改善这些问题，很多作者研究出了其他的方法，例如基于有限体积时域（FVTD）或有限积分技术（FIT）或有限元时域（FETD）形式主义。在FVTD方法中，麦克斯韦方程组是以保守的形式写成。一般位于网格中单元格的中心被评估为总和在细胞表面摄取的通量，它取决于选择的通量，FVTD技术是一种稳定但是通量耗散的方法，用非稳定性较弱的方法正交网格，或者类似于这种情况的时候，FVTD技术是一种稳定的、无裂变的但却是更分散的方法。为了改善这些方法，一些作者提出了将一个高空间顺序近似为小个单元的解决方案。这样的方案基于不连续的Galerkin公式。尽管他们的结果非常精确，并且他们有弥散的对角质量矩阵，但是这些方案却有着大量的未知数，因此计算起来十分困难。事实上，即使是细胞边界的实际领域是连续的，就算解决方案是不连续的，这些原理所允许的细胞面都需要系统将未知数复制在细胞的边界处。

在有限元方法中，麦克斯韦方程是以弱有限元的公式来编写的，而基础函数则通常被认为是Nedelec的边缘元素。这些方法在解决时域问题时的主要困难是由于稀疏的非对角质量矩阵的存在，这就需要矩阵在计算过程中进行倒置。许多研究人员提出了使用大规模聚集技术来获得相应的对角质量矩阵。在这些方法通常是低阶近似的解决方案，如果用于高阶逼近那就不明显了。最近，很多学者研究了将高空间顺序逼近和自然块对角线质量矩阵两者相结合的方法。这些方法的优点是它们可以产生与不连续Galerkin方法一样精确的解决方案，但是没有太多未知数。这是因为每个单元之间的场分量的切向连续性导致的。

在本文中，我们提出了一个原始的有限元方法来解决麦克斯韦时域方程组，并在精度方面与通常的FDTD方法进行了比较。在第二节中，描述了该方法的数学方面。在第三节和第四节中，分别说明了该方法在二维（2-D）和三维（3-D）电磁问题上的优势。

2 有限元形式化

我们由以下混合公式描述的3-D计算域中考虑麦克斯韦方程组：

其中，和定义了介电常数的对称张量，渗透性和电导率，是电流源，表示单位向外，与正交。

A.方法的主要特点

在这里提出的有限元方法（FEM）中，通过将方程（1）用于PML形式的截断计算域中并将其分解成一组六面体单元来求解。这些分段函数在每个单元的函数元素中被扩展，并且我们只假定了单元面上的切向电场分量的连续性。我们不强加任何连续性的磁场的组成部分。通过考虑两组测试函数来使用A变分公式，一组用于，另一组用于。麦克斯韦方程的混合系统的选择，并不是像许多作者所做的二阶电或磁方程那样，导致在操作和数据存储方面具有相同公式化的复杂程度。

对于每个细胞，变分公式的积分通过映射到一个标准参考元素来进行评估，我们在这个参考元素上定义了一组位置在Gauss-Lobatto点的自由度和一组多项式元素函数。然后将积分通过使用Gauss-Lobatto正交规则来近似。这种方法就意味着质量集中得很自然。此外，这种离散化的选择导致刚度矩阵只需要很少的存储。另外，这个公式在计算时间上产生了显着的增益。

在接下来的部分中，我们将详细介绍这个数值方案的数学方面。

B.数学背景

  1. 函数空间：麦克斯韦方程的基本表示是空间是人们可以定义向量值函数的卷曲的空间。 在三维空间中，可以将写成，现在我们也可以定义：

  1. 变分公式：为了定义我们的有限元方法，我们用变分公式重写了麦克斯韦方程：

找到和，使得和满足：

在这个公式中，由于公式的原因，磁场的功能空间被视为而不是。事实上，正如我们在本文后面将会看到的，如果我们不强制切向磁场穿过网格单元面的连续性，我们就会得到一个数值方案，其分散性比连续性强。 图1显示了它们的比值，即离散波速度与准确的一个比较，作为对于多项式近似的两个混合近似和的每个波长K的插值点数的倒数的函数等于 3（参见相应近似空间定义的以下小节）。我们可以看到，施加磁切向连续性的公式比没有这种连续性的公式更加分散。

C.数字计划

  1. 离散空间：设是由一组非正交六面体组成的网格。设，参考元素到的平滑可逆映射在我们的应用中，我们选择经典的三线性映射。

为了获得上述问题的半离散弱公式，我们定义了和的两个子空间和。分别以下方程组定义：

定义每个变量中至多有个多项式的空间，和分别是的雅可比矩阵和它的转置矩阵。符号定义了元素上的函数的限制。

因此，我们得到下面的离散公式：找到和，使得：和满足：

  1. 基本功能和自由度：现在，我们构建问题的离散解决方案。为此，我们在[0,1]上定义一维Gauss-Lobatto积分点。这些点是勒让德多项式导数的根。然后在参考元素上我们定义一组位于Gauss-Lobatto点的自由度。向量值基函数由以下方程组给出：

其中的选择方式是基函数值的方向总是朝向参考元素的内部。对于奇数，这种选择允许对两个相邻单元之间的基函数的方向进行良好调整，以施加电场的自然切向连续性。然而对于偶数的次序，基函数的方向将会受到影响。

Gauss-Lobatto点的自由度位置的选择是根据它允许我们很容易地处理切向电场分量的边界或连续性条件来进行的。它还使我们能够通过相应的正交规则有效地评估某些积分。

现在我们在定义两组基函数后可以写出离散的电场以及磁场。其中和定义了电场和磁场的自由度数。 作为定义的结果，切向电场分量在元件的面上是连续的，并且只有一个自由度与面上的任何节点相关联。这些基函数并不意味着法线的连续性 但是，两个自由度与面上的每个节点相关联。 图2中的区域C示出了单元A的面上以及两个单元A和B之间的边界处的电场的自由度的位置。这些考虑意味着函数支持可以由多个单元组成。对于磁场，基函数是在每个元素上局部定义的。由于我们不假定元素面上的磁场分量具有任何连续性，对于任何单元我们都有三个自由度（每一个组件）在所有的Gauss-Lobatto点。来自的函数只有一个单元格作为支持。

如果我们在参考元素上的每个方向上都采用 Gauss-Lobatto点，那么这个元素上的电场和磁场就会被每个坐标的r阶多项式近似。我们说我们有一个Q近似方案。

  1. 质量矩阵：我们可以写出质量积分：

通过使用这个函数，我们可以按以下方式分解：

我们得到：

同样的，我们可也可以写出磁质量积分：

现在，我们使用三维Gauss-Lobatto正交规则计算K上的积分：

注意到，这个最后的一个表达式不是零，仅当

换句话说，对应于网格的两个不同点的两个基函数之间的相互作用总是等于零。

这个性质导致块对角质量矩阵。而且我们可以看到每个块矩阵对应于网格的一个

点。块的作用是与这一点相关的基础功能之间的相互作用。因此，电场质量矩

阵的块的大小等于位于网格中的对应点处的自由度的数量。离散磁场的不连续

性导致块大小等于3的块对角线磁矩阵。

从计算的角度来看，增益是有价值的，因为可以存储每个块的倒数，并且在

每个时间步与质量矩阵的倒数的乘积减少为具有小块矩阵的一系列乘积。

对于与（1）的导电项相对应的矩阵，我们得到一个类似于质量矩阵的形状的矩阵，因为这个项对应于基函数之间相同类型的相互作用。

（4）刚度矩阵：要计算刚度积分，我们使用以下属性：

现在让我们分解电场方程上的刚度项。我们得到了以下表达式：

上面的关系表明，关于K上刚度项的知识足以计算整个网格上的刚度项。换句话说，通过仅知道K上的刚度积分和每个元素上的J的符号，我们知道整个网格上的刚度矩阵。这意味着存储需求的显着减少。磁方程的刚度矩阵也是相同的，该矩阵是电方程的刚度矩阵的转置。

（5）半离散系统：最后，我们得到以下用于评估电场和磁场的半离散系统：

以上矩阵为N*N块对角线矩阵，其中N是点处的电自由度数目，是（3*3）块对角线矩阵。而且，因为质量矩阵是对称的，所以只存储每个块的倒数的三角形部分。刚度矩阵和非常稀疏。

所有这些性能都会带来显着的存储增益和非常快速的解决方案算法。

  1. 时间逼近和稳定性：时间离散化是根据Yee的方案在电场和磁场上进行跳跃式方案。我们获得完全离散化的方案：

为了证明方案16在非结构六面体网格上的稳定性，我们使用能量技术（例如参见[13]中的有限体积方法），它基于经典的离散能量：

其中定义了由Gauss-Lobatto正交规则求积分的近似值。

仅在稳定性标准下，表达式17相当于离散范数。如果我们选择,我们有：

我们可以证明（参见[28]）下面的定理。

定理1：在这个条件下

方案16是稳定的。

使用Maple软件，对于给定的近似值，我们获得以下稳定性标准：

如果域被分解成一组立方单元，边的大小等于h，我们得到，由关系式23给出的稳定条件与通过使用平面波分析得到的最优条件相同。

  1. 结论：经过这些数学考虑，我们获得了一个稳定的显式有限元方法，其质量矩阵是块对角线，刚度矩阵需要很少的存储。该方法还提供了具有高空间顺序近似值而没有特别困难的可能性。然而，约束是使用由六面体单元组成的网格，它比四面体单元更加地难以构建。为了限制计算域，现在已经开发了出了新的PML形式。在这种方法中，我们通过添加几个图层，使得在每个方向上扩展出一个波长的计算域。PML电导率的变化是多项式的。

3 二维问题的数值结果

A.例子

在本节中，我们给出TE模式下的一些二维实例（二维平面中的电场），以显示所提出的FEM与FDTD比较的优点。在本节的所有部分中，有限元计算采用空间Q3近似法进行。所用的PML电导率在0到0.05 S / m之间变化，其二阶多项式变化。这里选择的例子涉及典型的电磁问题。

—腔；

—边界包含弯曲部分的物体；

—计算域的直径是几个波长的大规模问题。

示例中给出的所有CPU时间都是在Pentium 4上以2 GHz时钟频率获得的，在本白皮书的其余部分中，“”表示所研究的最小波长。

（1）空腔内场的评估：在这个例子中，物体由具有完美传导壁的方形空腔限定，其边缘长度等于10，。通过使用多个有限元网格，我们观察到对于单元尺寸小于或等于（见图3）的网格，该解是稳定的。对于FDTD，我们使用网格进行了几次模拟，其中网格的大小等于。在图4中，我们绘制了结果，而且我们可以观察到，对于等于的单元大小，解决方案与其他的解决方案非常不同。虽然FDTD方法不能收敛到给定网格的稳定解中，但我们可以看到FDTD方法对于单元尺寸等于或小于的网格的FEM方法变得非常相似。就CPU的时间而言，对于具有等效精度的解决方案，我们获得3 min 38 s的FEM和5 min 9 s的FDTD，网格大小等于，50 mn，网格大小等于。

（2）具有弯曲边界的物体：所研究的物体是一个完全导电的半径圆盘，由一个平面波照亮，该平面波的传播方向为x轴。我们要计算在圆周附近的不同点处的雷达截面（RCS）的值，角度范围从0°到180°（见图5），并且是在给定的频率下，以便在定义波数的地方。通过对时间信号使用傅立叶变换考虑在频率F处获得的在点R处的散射和入射磁场。图6显示了两种网格结构（平均孔径分别等于D和F）和解析解（见文献[33]）的FEM解的比较。从这些结果中，我们可以看到，我们获得了两个网格的类似解决方案，并与确切的解决方案达成了很好的一致性。因此，我们可以说我们有一个很好的解决方案，对于等于/6的单元尺寸是稳定的。在图7中，我们比较了有限元方法和FDTD方法之间的解。给出的FDTD方法的结果是针对不同大小的细胞而获得的。在图中，我们可以看到FDTD方案对于等于/15的单元尺寸是不适用的，并且即使单元尺寸显著减小，180°入射点附近的某些点与FEM方案相比也是不正确的。就CPU的时间而言，对于FEM（单元尺寸等于/6）和FDTD方法（单元尺寸等于/50），我们获得3 min 15s（单元尺寸等于6）和8 min 10s。 在这种情况下，对于不太精确的解决方案，在相当于FEM的CPU时间内获得单元尺寸等于/30的FDTD解决方案。但是，如果我们比较具有类似精度的解决方案，则有限元法提出的是最具吸引力的。

（3）大尺寸问题：这个例子包括评估在一个二维介质内沿给定位置（x = 200m）上一条线的传播波的幅度（见图8）。介质由两层电介质层组成，它们定义了土壤和森林。在这个问题中处

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