英语原文共 209 页
第五章沥青路面荷载应力
5.1 前言
一般假定沥青路面不具有任何弯矩承载能力，与混凝土路面不同。因此，建立的沥青路面应力平衡方程不应含有弯矩项。本章首先介绍了分析单层连续体（即一个半空间）的方法。随后，该方法扩展到多层情况（具有光滑或粗糙的界面），代表了理想的沥青路面结构。
5.2 一般公式
为了确定这个问题（以便获得其原理），需要 (i) 应变位移关系（因此应变兼容性条件），(ii)应力和应变关系（这就是本构关系）(iii) 问题的平衡条件和 (iv) 几何（即边界条件）（背景信息参见第 1.2 节）。下面的表达式是作为三个考虑因素的组合形式考虑的。最后，边界条件将被用来分析一个半空间（作为一个典型的边界值问题），随后，它将被扩展到求解一个多层结构
设一个普通应变条件（X Z 平面）在笛卡尔坐标中被假设，故（ 和 gamma;xz）可表示为方程式 1.31。将上述内容置于相关应变相容性方程中（参见方程组 1.19 的第 3 个方程式），可得到第一个
或者
(5.2)
现在，针对当前情况（考虑沿着 X Z 平面的平面应变）的平衡方程（参见方程 1.33）可以表示为。
= 0 (5.3)
(5.4)
对等式 5.3（关于 x）和等式 5.4（关于 z）进行鉴别，并相加，得到。
5.2 通用公式
将等式 5.5 中的2代入等式 5.2 并进一步简化，得到
(5.6)
其中
以类似的方式处理平面应力条件（即，使用方程 1.30 代替方程 1.31，并考虑X-Z坐标系，得到一个
(5.7)
公式 5.7 也称为应力相容性方程。现在，如果假设自身作用力为零（如果重量是唯一考虑的自身作用力，则为 BFx=0，此外，如果介质也被视为失重，则为 Bz=0），则方程简化为
nabla;2 (sigma;xx sigma;zz) = 0(5.8)
假设 x 和 z 的函数可以用以下形式表示（因此它在没有力的情况下遵循二维平衡方程），
(5.9)
然后将等式 5.9 放入等式 5.8
nabla;4phi; = 0
该函数称为 Airyrsquo;s 应力函数。对于纵坐标系和轴对称情况（即存在= 0
例子中，进一步讨论参见第 1.2.3 节）以函数增量表示的应力可表示为 [174, 222, 277]
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
从方程 1.20 和 1.26 进一步，并考虑轴对称情况
(5.15)
以类似方式进行便可得
|
nabla;4phi; = 0 |
(5.16) |
其中
.
方程（方程 5.10 或 5.16）代表应变相容性、本构关系（平面应变或平面应力或轴对称情况）和平衡条件的组合形式。感兴趣的读者可以参考，例如，普洛斯和戴维斯[222]的方程式，三维线弹性产生的情况。
以下步骤涉及获得这种连续介质的应力（以及随后的应变和位移）。
1.坐标系的选择，获得满足公式 5.10 或 5.16 的适当函数。
2.定问题的边界条件中获得函数的常数
3.坐标系的选择，从公式 5.9 或 5.11 5.14 中获得应力。
上述方法可用于求解各种载荷和几何形状的连续应力。这将在下文中进一步讨论。
5.3 弹性半空间的解决方案
图 5.1 显示了 Q 值的点载荷垂直作用于弹性半空间；目的是消除半空间内任何点 (r；z) 的应力-应变-位移。这个问题俗称 Boussinesq-s 问题，其解决方法众所周知，并在文献中得到广泛应用。有关 Boussinesq-s 问题的历史和背景的讨论，可以参考 142。这个问题的边界条件如下：
图 5.1：垂直作用在半空间上的点荷载。
1.所有的压力都应该消失。也就是说，z → infin;, sigma;zz = sigma;rr = sigma;theta;theta; = tau;rz = 0
2. 表面的剪切应力应为零。即 tau;rz|z=0 =0.
3. 表面的 zz 应为零，除非是在施加载荷的点。也就是说，sigma;zz|z=0 = 0，除非是在负载应用点。
4. 半空间内任何给定水平面上的总作用力之和，均应等于 Q，即R sigma;zzdA = Q,，其中 A 表示所在水平面的面积。
为了解决这个问题，首先需要选择一个合适的（双谐波）函数。以下讨论是基于 140 中给出的解决方案。为本案提议以下职能 [140]。可以证实公式 5.16 给出的条件适用于该phi;函数。
(5.17)
根据上述条件，得到的常数为[140],
在对函数常数进行计算后，可将其用于公式 5.11，以获得应力。广泛使用的应力表达式（由于弹性半空间表面的垂直点载荷）可表示为[63, 104, 140, 162],
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
其中R = (r2 z2)1/2
上面已经介绍了 Boussinesqrsquo;s 问题的一个简单解法。只要满足等式 5.10 或等式 5.16（取决于坐标的选择），并且边界条件对未知常数产生有意义的解，就可以用任何其他函数得到相同的解。例如，关于替代方法的更多信息，可以参考[247, 248, 310]
此外，可通过以下方式推导垂直位移。柱坐标系中的垂直应变 (z) 如下所示（参考方程 1.20 和 1.26）
(5.22)因此，任意深度的位移 z (!) 表示为
(5.23)
将方程 5.18、5.20 和 5.21 中的 zz、rr 表达式分别输入到方程 5.23 中并进行积分，即可获得点荷载 Q 引起的位移
(5.24)
对半空间点荷载的问题，国内外学者也提出了类似的观点，如半空间表面垂直作用线荷载（通过燃烧物）,半空间内的点荷载（达尔文法）或在半空间内 (Mindlin)，水平地作用在半空间表面上的点荷载 (Cerrutti) 等。[65, 104, 138, 140].例如，对于不同研究者在本领域所做贡献的详尽综述（和历史背景），可以参考 142，对于异质、各向异性和不可压缩介质相关问题，可以参考 [97]
Boussinesq-s 方法可以进一步扩展到响应，例如，线加载、均匀条带加载、均匀圆形加载、均匀椭圆加载、三角形条带加载、赫兹加载、偏心加载、各向异性和不均匀条件等。下面将讨论一些相关但简单的示例问题。对于进一步的研究，感兴趣的读者可以参考，例如，[37, 63, 65, 104, 138, 140, 222, 247, 277]等。
示例问题
弹性半空间上的圆形均布载荷如图 5.2 所示。可以假定 Q 的总载荷均匀分布在半径为 a 的圆形区域上。获得半空间内一个点（即如图 5.2 所示的点 (r00,z)上sigma;zz的表达式。
解决方案
假设线性叠加有效，则可获得应力。也就是说，位于(r0,theta;) 处的极小点负载的所有贡献可以相加（通过积分）以获得整体叠加，荷载元素面积 r0 dtheta; dr0上的量级表示为q r0 dtheta; dr0，其中 。因此，使用公式 5.18
在这种情况下，垂直应力 (zz) 可以写为
均布圆荷载
弹性半空间
图 5.2：弹性半空间上的圆形荷载
(5.25)
其中，r 是元素面积和点 A 之间的距离，上述公式的r可以用(r02 r002 minus; r0r002costheta;)1/2来替换，并且可以数字积分得到sigma;zz.
示例问题
图 5.3 显示了可弯曲的均匀加载圆板。估算最大表面尺寸。
解决方法
据了解，使用可弯曲板该板本身没有任何外来刚度，因此，它采取了与弹性介质变形后相同的形状。
图 5.3：弹性半空间由于弹性均匀加载圆板的位移。
根据公式 5.24（通过放置 z=0）获得表面点载荷 Q 的计算值
(5.26)
取加载区域上的r0 dtheta; dr0的元素面积，假设叠加有效，就可以计算出中心的距离(omega;|z=0,r=0)作为
(5.27)
式中：。由于中心的定义是被计算的，在这种情况下，我们可以写出 r =r0
因此，
(5.28)（取= 0.5的特殊值来假设）
(5.29)
对于中心点以外的任何一点，r 6= r0，需要从几何考虑发展出合适的关系（例如参考[65]
在板荷载试验中，通常采用公式 5.29 来估算土的弹性模量（由厚度或高度足够的均质材料组成的路基或路堤结构，可将其假定为弹性半空间），而采用柔性板。
示例问题
图 5.4 显示了一个刚性的无摩擦圆板。估算最大表面尺寸。
解决方案
通过刚性板-这是了解到，板具有很高的外部刚度，因此，它不变形本身时，施加的负荷。在这种情况下，压力分布可能不再均匀。需要满足以下两个条件：
板底部的总作用力（由于压力分布不均匀）应等于外部施加的作用力 Q。也就是说，
(5.30)
式中：A 为板的面积，dA 为元素面积。
圆板的每一点上的变形应该是相同的（因为它是一块刚性板）。
图 5.4：刚性圆板引起的弹性半空间位移
对于柔性板的情形（即最后一个例子），我们发现板中心处的能量最大，边缘处的能量最小。对于刚性板的当前情况，在板区域内的分布应该是处处相同的。如果沿边缘的压力高于中心[65]的压力，则可能实现这一目的。因此，可以假设压力分布为如图 5.4 所示的形状。下面的压力分布符合上述两个条件[65, 140]
当0 le; r le; a(5.31)
有趣的是，建议的压力分布表明，压力理论上将在边缘。(这方面的进一步讨论，可以参考第[65]条。因此，可以得到板中心的压力从公式 5.24 中导出，通过将 z=0，取元素r0dtheta; dr0 的面积，从等式 5.31 中替代 q 的值，并考虑r = r0对于本例
(5.32)
假设，micro; = 0.5，作为一个特例，我们可以得到
(5.33)
公式 5.33 常用于通过板载荷试验估算土的弹性模量，而刚性板常用于估算土的弹性模量。进一步的计算表明，对于假定的压力分布（即，方程式 5.31），刚性圆盘内每一点的计算结果相同，并且可以通过方程式 5.33 让. micro; = 0.5。
5.4 多层结构
理想的多层沥青路面结构如图 5.5 所示。假定 Q 的总荷载均匀作用于半径为 A 的圆形区域（即 ，此数值等于轮胎接触压力）。从上至下依次分为第 1 层、第 2 层、第 i 层等几层。最后一层（通常是路基）是第 n 层。多层沥青路面结构的假设如下
1.由 n 层组成。
2.每层由均匀、各向同性
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