不同数值模型在车桥相互作用分析中的比较研究
本文对几种现有的车桥相互作用(VBI)模型进行了综合比较研究,旨在为进行VBI模拟时的车辆和桥梁模型的选择提供有益的参考。在数值分析中采用了简支板梁桥和AASHTO HS20-44 车辆。该桥分别建模为欧拉-伯努利梁、板梁系统和实体系统,而车辆则分别建模为移动力、移动质量和弹簧阻尼质量(SDM)系统。还考虑了其他因素,包括路面粗糙度和车辆轮胎与桥梁之间的接触条件。研究了不同VBI模型对桥梁响应的影响,并比较了不同模型在精度、效率和适用性方面的结果。结果表明,不同类型的桥梁响应计算精度随模拟过程中桥梁振动模式的数量而变化。研究还发现,桥梁模型和汽车轮胎模型中所使用的单元类型对桥梁加速度的影响大于桥挠度。
关键词: 车桥相互作用；数值模型；影响因素；动态载荷系数；路面粗糙度。
1. 简介
近几十年来,移动车辆与桥梁的动力相互作用得到了广泛的研究。移动车辆诱导的桥梁的最大动力响应通常大于受相应静态车辆荷载作用的最大静力响应。这一动态增量受多种因素的影响,包括桥跨长度或固有频率、路面粗糙度、车辆悬架系统、车速、车辆总重量等。由于车桥相互作用(VBI)问题的复杂性和现场测试数据的缺乏,（现场测试数据通常是不方便、费用昂贵的），因此开发了许多数值模型来模拟VBI系统的行为。VBI系统一般包含三部分: 桥梁模型、车辆模型和路面粗糙度模型。
根据复杂度的不同,桥梁模型通常可以分为三组。一维(1D)模型是最简单的,通常建模为单一的欧拉-伯努利梁,它忽略了桥梁的扭转和横向振动模式。二维(2D)模型通常采用网架法或四节点板/壳单元实现。三维(3D)模型一般采用八节点的实体单元,或由壳体和梁单元组合组成。
该车辆一般被模拟为以下的一种:移动力,移动质量,弹簧阻尼质量(SDM)系统和全尺寸有限元(FE)模型。移动力模型是所有四种车型中最简单的,在一定的情况下可以产生令人满意的动态桥响应,而车辆与桥梁之间的相互作用是不能考虑的。移动质量模型可以解释车辆的惯性效应；然而,它没有考虑到由道路粗糙度引起的车辆的弹跳行为。广泛使用的SDM模型克服了这些缺点,更现实地模拟了VBI,同时保持了可接受的复杂程度。在SDM模型中,车身和车轴由具有质量的刚性物体表示,所有部件都由弹簧和阻尼器连接。SDM 模型也可以根据其维度和复杂性分为三组。1D模型(也称为1/4车模型)只考虑车辆车轴和车体的垂直运动；2D模型(也称半车模型)在垂直平面上考虑在两个方向的运动；3D模型考虑了空间中所有三维的运动。根据桥梁和汽车轮胎之间的接触类型,SDM模型可以进一步分为单点接触(SPC)模型和贴片接触或多点接触(MPC)模型,后者考虑到更现实的轮胎的接触行为。非常复杂的FE汽车模型,其中的车辆部件是由不同的单元来建立模型, 也被一些研究人员使用。然而,这种类型的FE车模型由于其复杂性和相对较低的计算效率而没有得到广泛的应用,尤其是在对大流量的随机交通流进行模拟时。
道路粗糙度被认为是车桥相互作用振动中最重要的起因之一。一些研究人员考虑了粗糙度剖面在横向方向上的差异, 而另一些研究者认为粗糙度剖面是完全相关的(FC)。
迄今为止,很少有人针对不同情况下不同VBI模型的精度、效率和适用性进行比较研究。因此本文的主要目的是在现有的VBI模型基础上重点考虑对桥梁响应的影响，为研究人员提供一个详细的交叉比较。希望本文能使人们更好地了解不同的 VBI 模型,为选择合适的模型提供一个综合参考。
本文首先提出了不同的VBI模型。桥梁分别建模为离散欧拉-伯努利梁、板架、壳体与梁单元的组合体和实体单元。车辆分别建模为移动力、移动质量和 SDM 模型。SDM 模型同时包含SPC和MPC轮胎模型，采用ISO 8608 提供的功率谱密度(PSD)模拟路面粗糙度, 并考虑了FC（完全相关）和部分相关(PC)粗糙度剖面。本文计算并比较了不同类型的桥梁响应和轮胎接触力，研究了VBI模型中不同组分（包括桥梁模型、车辆模型、路面粗糙度模型）在VBI系统中的行为。文中还讨论了不同 VBI 模型的计算效率。
2. 分析模型
2.1. 桥梁模型
本文选取了根据美国规范设计的典型双车道简支板梁混凝土桥梁。该桥由五个相同的AASHTO Ⅲ型梁组成,梁间距为2.13米,跨度长度为24.384米,路面宽度为9.75米,桥面板厚度为0.2米。桥梁的横断面如图1所示。
基于几何和材料特性建立四座不同的桥梁模型，并简要介绍如下。
（i）单梁模型:整桥建模为单离散欧拉-伯努利平面梁,其中每个节点有三个自由度,包括两个平移自由度和一个旋转自由度。已知该模型只能精确处理对称加载情况。
（ii）板架模型:整个桥由纵、横向欧拉-伯努利梁单元,采用板栅法建模。梁单元的每个节点有六个自由度,包括三平移和三旋转自由度。
（iii）壳梁模型:桥面由壳体单元建模,而梁和隔板采用梁单元模拟。壳单元的每个节点与五自由度相关联,包括三平移和两个旋转自由度,而梁单元的每个节点有六自由度,包括三平移和三旋转自由度。
（iv）实体单元模型:整桥建模采用八节点实体单元,每个节点具有三平移自由度。在每个平移自由度上,八节点实体的形状函数是线性的。
不同模型的理论可以在相应的参考文献中找到,不会在这里详细介绍。应该指出的是,只有上层建筑是建模的,而桥台和柱子是通过设置适当的支持条件来考虑的。
在研究桥梁动力特性时,常采用固有频率和振型形状。对所创建的四桥模型进行模态分析,并在表1中显示前四个固有频率和相应模式形状的结果。可以看到,所有四桥模型的第一弯曲模态相互吻合。然而,在不同的桥梁模型之间,一些振动模式,例如第二竖向弯曲模式和双向弯曲模式,仍然存在小的差异。
2.2. 车辆
在数值分析中,分别使用了静态重量为17.8、71.2 和 71.2 KN 的三轴AASHTO HS20-44 卡车。该卡车被建模为移动力,移动质量和 SDM 车辆模型,分别显示在图2-4。在SDM 车辆模型中,采用了两种不同的轮胎模型, 即 SPC 和 MPC 轮胎模型。为方便起见,相应的 SDM 模型将分别称为 SPC-SDM 车辆模型和 MPC-SDM 车辆模型。MPC-SDM 模型与 SPC 模型完全相同,只不过每个轮胎都是用多个相同的弹簧和阻尼器来建模的,而不是为了模拟金属块接触在 SPC-SDM 模型中使用单个弹簧和阻尼器。在轮胎和道路之间它占据了0.24米, 如图5所示。灵敏度分析结果表明,采用六弹簧和阻尼器对轮胎进行建模,可以使桥梁和车辆的动力响应得到满意的收敛。
移动力模型由三或六恒定轴力组成,它们等于对应的 SPC-SDM 模型的静态轴或车轮权重。对于移动质量模型,每个质量的值等于移动力模型中的相应力, 除以重力加速度, 即9.81 米/ssup2;。相邻力或质量之间的间距与图4所示的3D SPC 模型的几何形状一致。将11独立自由度的3D SDM模型的参数列在表2.的2D单梁模型中,对与横向尺寸相关的车辆 (如转动惯量的滚动力矩)的参数进行忽略或组合,以推断平面SDM模型,它只有六个独立自由度,但重量与3SDM 模型相同。
2.3. 路面平整度
路面平整度一般被认为是 VBI中最重要的因素,只有在使用 SDM 车辆模型时, 才能将其考虑在内。路面平整度剖面可以用 PSD 描述的零平均正常平稳随机过程表示。
（2.1a）
（2.1b）
（2.1c）
在 Oliva 等工作的基础上, 的空间频率(周期/m),可以生成两条相关的平行道路粗糙度剖面；和是从0到2pi;均匀分布的两个独立的随机相位角;n是和之间的频率,和分别为下、上截止频率；是频率区间；G(·)是ISO 8608(立方米/周期)中指定的单侧PSD函数；并且,在频域 (立方米/周期)中,交叉PSD描述了两条道路粗糙度剖面的相关性。
根据 PSD 的不同值,选取了四路粗糙度类,即非常好、好、平均、差的VBI,研究了路面状况对其影响。同时,由方程 (2.1a)产生的两个FC粗糙度剖面和由方程(2.1a)和(2.1b)PC粗糙度剖面,都予以考虑。图6显示了两个PC平均级粗糙度剖面及其PSD的例子。
3. VBI 系统
桥梁的运动方程可以写成
（3.1）
其中、和分别为桥的质量、阻尼和刚度矩阵;分别是桥的位移、速度和加速度向量；是桥面单元的形状函数矩阵;而是在桥上作用的车轮桥接触力的矢量。VBI系统的装配方法根据使用的不同车型而异。
3.1. 移动力模型
当车辆被建模为几个恒定的力时,可以在方程(3.1)直接替换为,车辆的运动被忽略,而方程(3.1)中、和都是与时间无关的。在这种情况下,通过求解方程(3.1),可以很容易地获得桥的响应。
3.2. 移动质量模型
除了重力外,运动质量模型中的质量惯性力也应包括在桥上作用的力向量 {Fb}中,如下所示:
（3.2）
是第i质量；是第i质量的加速度。将此关系替换为方程(3.1)并利用第i质量和桥位移的位移之间的关系(请参见 Ref.24)产生以下情况:
（3.3）
其中是与第i质量的位置相关的形状函数,以及与x(桥的纵向方向)有关的第一和第二部分导数; 和分别是车辆的速度和加速度。与方程(3.1)相比,这些新的值在方程(3.3)都是与时间相关的。一旦确定了桥上的车辆位置并在每一次步骤中更新,这些数值就会被计算出来。
3.3. SDM 模型
如前所述,SDM 车辆模型可以解释车辆的自由度。车辆和桥梁的振动通过模拟为弹簧和阻尼器的汽车轮胎相互作用。利用接触点的位移关系和相互作用力关系,结合桥梁与车辆的运动方程,建立车桥耦合系统,如下所示:
（3.4）
下标 b、v和r分别表示桥、车和路面不平整度; 是车辆重力的矢量;还有:是由于车轮道路接触力,这是与时间相关,并将改变与车辆在桥上的位置,因此应在每一次步骤更新。SPC和MPC-SDM车辆模型的唯一区别在于与方程（3.4）中汽车轮胎的阻尼和刚度有关的值。
在上述方法的基础上,开发了不同的 MATLAB 代码来模拟不同桥梁和车辆模型的 VBI。为了简化桥模型,从而减少计算工作量,采用模态叠加技术，用 VBI 法求解了系统的运动方程。
3.4. 模型验证
为了验证本文所描述的VBI方法,对以往研究中使用的不同车型和桥梁模型进行了若干基准测试。从参考文献26出发,采用单梁桥模型的SDM车辆模型, 根据文献13进行建模。同时,将SDM 车辆模型和桥梁模拟为板架、壳梁和实体模型的计算结果与参考文献27的现场试验数据进行了比较。这里没有介绍建模的细节,为了简洁起见,在参考论文中可以找到更多的信息。图7显示了跨度中桥的挠度时间历史。从所提出的方法和参考文献的结果可以看出, 本文所开发的方法能够准确地模拟 VBI 系统的动态行为。
4. 数值研究
在这一节中,分别讨论了桥梁模型、车辆模型、路面粗糙度模型等VBI模型的不同组分对桥梁响应的影响。所考虑的桥梁响应包括挠度、弯曲应变和垂直加速度,这些因素在其他研究中一般也会被选择。此外,由于轮胎桥接触力对桥面的局部影响有很大影响,可作为桥梁的外力,在相关的小节中也被考虑到。
在桥梁设计中,采用了两种常用的参数,即动态冲击因子(IM)和动态载荷系数(DLC)。IM已被广泛用于评估桥梁的动态响应,并定义为
（4.1）
其中 表示最大动态响应， 表示最大静态响应。DLC用于指示动态轴载荷的大小,被定义为
（4.2）
其中和 分别表示最大动态和静态轴负载。
在提出动力响应的结果之前,在表3中给出了所有梁的准静态响应结果。这些结果是在每辆车模型以速度(1.2 公里/小时)行驶在完全平滑的道路的情况下获得的。应指出的是,由于单梁模型中不能考虑不对称加载情况,表3中的单梁模型未报告情况1的结果。表3的结果表明,不同的桥模型在每种情况下对五个梁的准静态挠度表现出很大的相似性,这表明这些模型是静态等价的。这些结果也表明,不同车型在非常慢的车速下,不会对桥的挠度造成显著的影响。
对于外部梁(如梁1和梁5),通常会发现非常高的IMs,这些IM值没有实际意义,因为它们对应于小的静态和动态响应。因此,为IM的结果分析选择了在相应的加载情况下具有最大静态桥接响应的梁，即箱1下的梁4和箱2下的梁3。
4.1. 桥梁模型的作用
4.1.1 桥梁振动模量
由于采用模态叠加技术获得了桥梁响应,因此可以很容易地评价各模量的贡献。这里采用了SPC-SDM车辆模型和FC道路粗糙度剖面。
（i）桥梁挠度:本文采用前60种方式计算桥梁挠度。结果表明,前几个模式对桥梁中跨挠度的贡献最大。对于板架、壳梁和实心单元模型, 前10个模量的贡献占总挠度的97% 左右。以实体模型为例进行说明。图8显示了每种模式对1和2情况下相应梁的总中跨挠度的贡献。汽车的第一轴和桥入口之间的距离,而不是时间, 被用作x轴。如果卡车沿着右车道穿过桥(情况1),所有的振动模式都会被激发,如图8(a)所示。然而,当车辆沿着路面中线(情况2)穿过桥时,所有不对称的中线的模式都不被激发。模式3,这是一个双向弯曲模式,在情况2占相当大比例的总反应。表4显示了三桥模型的双向弯曲模式(板架模型的4模式、壳梁和实体模型的模式3)对考虑不同车速和RSCs的在情况2下的总中跨挠度的贡献。可以看出,最大的贡献可以达到近20%。对于单梁模型,第一弯曲模的贡献通常占总挠度的99%。结果表明,即使车辆沿路面中线运行,也不足以用单梁建桥,因为横向模态的
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