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通过光谱和空间分辨干涉测量的相位色散测量的发展前景及局限性
摘要
光谱和空间分辨干涉测量已经成为用于测量通过任何色散介质传播的宽带激光脉冲的相对相移的有力工具。因为在一般实验条件下，相对相移只归结于介质，所以群延迟、群延迟色散和三阶色散的值为给定的材料提供了共同的超快的色散常数。本文将详细说明光谱和空间分辨干涉测量这门学科的状态。考虑到波长校准、光源的频宽、电气和光学噪声、弯曲的波阵面、条纹可见度及干涉仪的机械振动的影响，我们将展示群延迟色散和三阶色散的结果分别能达到和的精度。
1.简介
超短激光脉冲的生成和应用要求对从激光振荡器，到激光系统，以及光束传输元件到目标的所有光学元件的色散值有精确的知识。为了显示光学元件的相位色散，一种常用方法是测量宽带光源在通过元件传播时的光谱相位失真，并且围绕脉冲的中心频率将相移扩展到泰勒级数。对于涉及不短于20fs的变换限制脉冲的应用，足以给出分别称为群延迟（GD）、群延迟色散（GDD）和三阶色散（TOD）的第一、第二和第三阶项的系数。然而，在更短的脉冲或是CPA激光器的情况下，只有在考虑第四阶和更高阶的相位导数时才能获得具有高时间对比度的变换有限脉冲。
除了直接测量通过激光系统传播的飞秒脉冲的光谱群延迟之外，已经开发了各种干涉测量方法来测量相位色散。它们中的大多数属于光谱干涉测量，其可被分成两种，不管激光光束是共线或是交叉的。首先，当脉冲共线传播时，通常在它们之间会引入一个时间延迟以产生频谱条纹。用于评价这些干涉图的最广泛使用的程序是基于光谱强度分布的傅里叶处理。当使用2D相机作为检测器时，光谱条纹可以提供空间依赖性，因为它们的评估是逐行地（平行于频率轴）进行来得到相位色散的空间依赖性。尽管实验技术是类似的，在2D条纹系统的其他情况下，时间上重叠的脉冲的应用也已经证明在调节展宽器-压缩器系统时是有用的，可以从频谱条纹的形状确定色散系数的符号和大小。
第二，在非共线束的情况下，脉冲会在时间上重叠来产生在频域中解析的空间条纹。在评估时，逐列（垂直于频率轴）应用傅立叶滤波器或空间强度分布的余弦拟合。在这项研究中，我们专注于非共线的光谱分辨和空间分辨干涉测量，它们被不同的作者组命名为光谱分辨白光干涉测量（SRWLI）、空间和光谱干涉（SSI）、通过分散一对光电场来对空间编码安排进行瞬态分析（SEATADPOLE）以及光谱的和空间的分辨干涉（SSRI）。本文中我们就用首字母缩写。
SSRI的首次试验成果于1901年被研究氧合血红蛋白的反常色散的Puccianti出版。之后他也扩充了他的调查到金属蒸汽的反常色散。将容纳金属蒸汽的管道放在双光束干涉仪（Jamin或Mach–Zehnder干涉仪）的其中一臂，并在另一臂中插入一个空的管道来补偿窗端的色散。加热装有金属蒸汽的管道末端，因此由于金属蒸汽而产生的相位沿着垂直的方向变化。SSRI的条纹形状同蒸汽的相位函数的形状非常相似。SSRI的这种性质同其他干涉测量的方法相比是一个很好的优点，因为它对样本允许一个快速的、相对精确的、视觉的散布控制。
Rozhdestvenskii改进了Puccianti的测量Na蒸汽中原子跃迁的振荡器强度的方法。由于缺少精密的转换器，他在干涉仪的参考臂中插入了一块厚的玻璃板。玻璃板造成的巨大的延迟使钩状条纹出现在吸收（谱）线附近。震荡器强度的测量只需要测定这些钩状条纹的光谱位置。Rozhdestvenskii的方法变得非常精确并被称为“钩状理论”。SSRI也用于测量金属和多层膜中的相位色散。然而，在所有的这些测量中，摄影板的使用并没能带来一个显著高的精度。
CCD相机的应用使计算机处理干涉图成为可能。这项技术进步不仅导致了“钩状理论”精确度的激增，还开辟了在光谱中几乎任何地方都能高精度测量光学元素的相位函数的方式。因此，在最近十五年里，非线性SSRI已用于啁啾激光反射镜和色散补偿可饱和吸收器反光镜的色散测量，用于泵和探针的实验，用于CPA激光器的展宽压缩系统的精细的色散调节，用于激光脉冲的表征，以及用于脉冲整形器的表征。在上述这些应用中，通过围绕水平轴稍微倾斜参考反射镜来沿着垂直轴改变延迟，或者将两个光束在不同位置反馈到光谱仪中。注意，已经证明在频谱分辨的空间干涉图中，相位信息的空间编码在非线性干涉测量脉冲表征方法中也很有用，在这个号称SEA-SPIDER的技术里，通过空间编码，SPIDER技术的精确度显著提升。
必须提到，非共线SSRI不仅能检测角分散（或频谱啁啾），还能区别于材料色散。这个特征在待测量的样品是棱镜时，或者在样品臂里传播的激光束由于啁啾脉冲放大（CPA）激光器的展宽压缩系统的未对准而变得有角度地分散时，尤其重要。如果光谱仪的狭缝是在角色散的平面上，那么光谱分辨的空间干涉条纹的频率与波长不再成线性比例。因此，条纹的光谱形状仍然是相对相位差的特征，而光谱周期性沿着空间坐标的变化是对角色散的测量。
上述这些例子说明SSRI已经成为色散测量的有力技术。最重要的问题是现在精度还能不能进一步提高，终极精度究竟是多少，以及是什么因素限制了它。仔细分析了共线傅里叶变换光谱干涉测量，其中还包括光谱校准误差，光谱分辨率和采样频率的影响。对于非共线SSRI，Meshulach和他的同事们已经给出了一个总结。然而，干涉图的评价被简单地提出，而且没有详细的误差分析。可能的原因是迄今为止被测量的色散的数量相当高。然而存在必须被谨慎对待来达到可能的最高精度的因素。
本文会对SSRI方法给出一个严格的描述，重点强调非共线几何学。我们介绍一种新颖的方法来进行条纹评估，以及细致的误差分析，它能分别以0.1fssup2;和2fssup3;的高精度测量出少量的二阶和三阶色散。
2.光谱和空间分辨干涉理论
光谱和空间分辨干涉测量的技术基于带有成像光谱仪的双光束干涉仪。为了简单让我们假设Mach–Zehnder干涉仪被像是飞秒脉冲的宽带光源照明（图1）。将要插入分散物体的臂叫做样品臂。在传播通过对象时修改采样脉冲的频谱相位和幅值。参考脉冲不受影响地在干涉仪的另一臂传播，干涉仪的另一臂通常配备有用于到的正确定时的精确平移级。采样和参考脉冲的相位前沿相互之间以的角度倾斜。由时间重叠的采样和参考脉冲形成的干涉条纹被成像到成像光谱仪的输入狭缝上。因此所得到的二维图像在光谱上（沿着频率或波长）和在空间上（沿着狭缝）被分辨。
根据对象的性质，两种类型的测量是可能的。当首先记录空干涉仪的SSRI条纹以便得到干涉仪自身的光谱相移时，可以利用过程来确定光谱相移并因此确定物体的色散。将物体插入到样品臂后，通常需要改变参考脉冲的延迟以再次得到干涉条纹。从产生的干涉条纹以及延迟线的变化，光谱相移可以被再次确定。从后者中减去空干涉仪的光谱相移，显然可以得到由于物体本身引起的光谱相移。
另一种类型的测量是当物体的一个性质如温度或压力变化时对色散的改变感兴趣的。上述情形的不同之处是现在当物体在干涉仪中时记录基本干涉图。随后的干涉图在给定性质的变化时记录。按照类似的过程，很容易看到光谱的变化
最终可以获得相移。
为了强调共线和非共线的光谱和空间分辨干涉测量的不同，我们从它们的共同起点的数学描述开始，即通过双光束光谱干涉仪，采样和参考脉冲平行地到狭缝。可以假定相移在每个臂中是独立于空间坐标的。我们可以以通常形式的泰勒级数写入参考和采样脉冲的频谱相位。
(1)
这里面的由GD（群延迟）、GDD(群延迟色散)和TOD(三阶色散)的通常符号标记的系数是中心频率的相位导数，其中。
在空干涉仪中，两个臂的相移都可以源自给定臂的光学分量和来自放置干涉仪的介质，其通常是空气。假设参考和采样脉冲在其臂中传播的距离分别是和，可以得到
(2)
其中和是给定介质的特定色散系数，也就是每单位传播长度的色散值。依照激光脉冲的线性传播理论，加上线性移相和它们的系数，因此它们可以被写成以下形式：
(3)
当参考和采样脉冲的相位前端彼此不平行时，即时，获得空间干涉条纹，假设相位前面是平面的，参考和采样脉冲的干涉导致还取决于空间坐标的强度图案，其形式为：
(4)
式中 是光在真空中的速度，是介质的折射率。两臂的中心频率处的传播时间是相等的高度（见式(5)）。
图1
在处又有公式：
(5)
式中。这意味着空干涉仪的色散，参考臂和采样臂的相位差可以由相对系数表示：
(6)
、、等的值可以通过记录干涉图样和构成强度分布和得到。下一节将分析来自干涉图的光谱相位的计算方法。
值得注意的是、、的值是独立于式(5)的条件的。为了强调与经典教科书干涉测量的关系，请注意式(5)是描述在一个特定的空间位置在相同的频率下，脉冲需要暂时重叠产生干涉的基本条件之一。在诸如激光脉冲的多色光源的情况下，式(5)对于相同空间位置处的每个构成频率成立，则在干涉仪的输出处获得具有最大能见度的干涉条纹。这是飞行时间干涉测量的核心方程，其中使用光谱可调谐光脉冲来测量光学元件的光谱群延迟。
下一步，我们在样品臂中插入一个物体，而且假定它的光谱相移能扩展到类似于式(1)的泰勒系列。一般也可以假定物体减小样品臂的周围介质中的路径长度。为了保持参考和样本脉冲的重合，参考臂的长度必须改变。因此，相对色散系数可以写成以下形式：
(7)
式(7)减式(6)，就能得到绝对色散系数：
(8)
当要测量物体的色散性质变化时，情况有些不同。让我们标记初始相位条件中的对象相移和不同色散情形下的对象相移。像上面的推导一样地处理，物体色散的变化可以由式(8)及得到。
式(8)意味着物体的绝对色散系数可以从记录的两个干涉图（无物体和有物体）、精确测量参考臂长度的变化、介质的色散的知识以及从物体本身的几何长度中得到。然而对于测定物体的色散性能的变化，在很多情况下难以测量的的知识并不是必需的。
3.干涉图案的评估方法
3.1.简单的余弦拟合
当式(4)被如下重新排列时，对干涉条纹最明显的评估方法是直接从原理得到。
(9)
从式(9)中可以看到我们通过记录SSRI图案、参考臂及样品臂的强度分布产生了一个归一化干涉图。注意归一化干涉图的强度分布是被余弦函数描述的，它的参数包含将要测量的相位。为了获得相位的频率相关性，对归一化干涉图的每一列拟合余弦函数。根据检索的光谱相位值，通过足够次数的多项式拟合来确定相位导数（图2）。
这种方法的优点是评估程序可以简单地被执行，例如MathCad、Matlab等这些类似于傅里叶变换评价方法。更进一步的优点是它在样品光线中发现和测量了相位前角色散，因为拟合还给出了作为频率的函数的条纹周期性。如果没有角色散，即在参考和样本相位前沿之间的夹角是恒定值，则SSRI条纹的周期性与成正比。
图2
到目前为止，我们假设样品和参考光束的相位前沿是平面波。然而，如果相位前端是弯曲的，则SSRI条纹的周期性将取决于坐标y。在这种情况下，该方法的精度可能会显著降低，因为检索的光谱相位值是一种平均值空间坐标。考虑飞秒脉冲在高斯波束中传播，因此它们的波前是弯曲的，必须找到一种适用于具有平面和弯曲相前端的脉冲的新的评估方法。
3.2．相位表面映射
为了避免由弯曲相位前端引起的精度降低，修改上述简单方法以便从干涉图创建完整的2D相位图，即不仅在频率函数中确定相位，而且还确定空间坐标y。
为此，首先用余弦拟合归一化干涉图的每个列（图2）。一步的长度应足够短以确定适当的局部相位值，但足够长以识别余弦形状。从每个拟合步骤得到表征拟合余弦函数的参数（相位，条纹的周期性，振幅和偏移值），并将其分配到间隔的中间点。然后短间隔仅步进一个点，并开始新的拟合。这个过程在除了当前列的边缘的之外的每个点中提供相位。毕竟，算法跳到下一列，从而扫描整个干涉图。
沿给定行测量的相位值，通过拟合三阶多项式来获得每一行GD，GDD和TOD的值。具有低信噪比的区域提供具有更多不确定性的相位。在拟合期间，计算相关因子来标记这些点。由于多项式拟合的高阶系数的灵敏度，不考虑手动选择（不确定性）阈值以上的点。
相位面法的优点可以总结如下。 首先，它给了机会使整个相位表面可视化。然后，从定性的角度，可以获得大量的相位数据，而简单余弦拟合仅考虑一列的一个相位值。更多的数据显然提供了更精确的误差计算的可能性。该算法是用于专门评估GDD和TOD，以及它们的标准偏差。这些标准偏差表征由各种效应干扰的测量的精度。最后但并非最不重要的，新的算法允许快速和自动处理整个干涉图。
4.错误分析和优化
具有相位表面评估的SSRI在理论上可以是用于以高精度测量小色散的适当方法。然而，必须解决实现最佳结果的可能的限制，包括检查实验条件以及评估算法。
为了研究每个可能的参数的影响，计算干涉图以模拟具有10241280的像素分辨率的10位相机，其由基于表面映射的方法开发代码评估。然后计算色散系数的标准偏差以表征各种失真的影响。作为所有模拟的核心参数，假定光谱和空间分辨率分别为0.11nm /像素和6.7/像素。假设照明脉冲具有高斯光谱分布，而参考和采样脉冲之间的相对色散值为GDD = 300fssup2;和TOD = 2000fssup3;。注意，当GDD和TOD分别在10到10000 fssup2;和fssup3;之间变化时，对于每个误差源已经获得了几乎相同的标准偏差值。在这些变量中有干涉条纹的数量和可见度，以及脉冲的带宽。除非关注它们，它们的值固定在
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