Cavitation to fracture transition in a soft solid
软固体中空洞到裂纹的转化机制
当橡胶、凝胶、软组织等软固体承受静水张力作用时，固体内部的微小空洞将会膨胀。对于应力应变关系遵循Neo-Hookean模型的弹性体，当静水张力大小接近材料剪切模量的2.5倍这一临界值时，初始的微小空洞将会持续无限制的膨胀。该现象通常被认为是由软固体中空化不稳定性引起的。同时，近期的一些实验表明，当静水张力远低于临界值时，材料内部也可能萌生裂纹。本文基于以上背景，拟对含有球形空洞及其相邻环状裂纹的Neo-Hookean弹性体进行研究，考察这类材料在受均匀静水张力作用时的大变形响应。采用压强控制和（空洞）体积控制两种方式，我们计算了不同情况下与环状裂纹扩展相关的能量释放率。结果发现，在压强控制模式下，能量释放率随着裂纹尺寸的增大而增大，当然也会随压强增大而增大。在（空洞）体积控制模式下，对于固定的空洞体积，当裂纹较短时，能量释放率随裂纹尺寸的增大而增大；当裂纹尺寸达到一个中等值时，能量释放率达到最大；此后，随着裂纹长度的进一步增大，能量释放率转为减小。本文的研究结果将有助于加深对软固体中空洞生长、发展至形成裂纹这一转化现象的理解，揭示不同加载条件下材料的大变形失稳机制。
1 引言
当软固体受到静水张力的影响时，一个小的，腔内最初的物质膨胀。基于假设一个小的球形空腔在无限大范围内Neo-Hookean固体的模型。我们可以预测当静水张力很小的时候，随着静水张力的增大，腔体膨胀缓慢。当流体静力拉伸的大小接近2.5倍的剪切模量时，随着外部压力的微小增加，腔体急剧膨胀。这种现象通常被称为弹性体的空化不稳定性。Gent1所做的开创性实验和理论分析，定量地验证了硫化橡胶的上述预测。Hamdi等2对丁苯橡胶进行了类似的实验。在软固体中利用空化不稳定性，Zimberlin等3,4开发了气穴流变学技术来测量水凝胶和软组织的局部剪切模量，如脑组织和骨髓。
在最近的实验中已经证明了这一点，这是Poulain等6所做的，在静水张力达到其剪切模量的2.5倍之前，在弹性体中可能发生断裂。也有证据表明，由于大变形，空腔膨胀不容易与裂纹扩展区分开来。
在空泡过程中研究断裂，William和Schapery7认为弹性体中一个腔的膨胀过程是创造一个新的球面，计算出这个过程的能量释放速率。他们获得了弹性体中空泡过程的能量释放速率为: R为初始空腔半径，和是变形前后腔半径的比值。当能量释放速率等于材料的断裂韧性时，空化诱导断裂发生。除了球形外，固体的缺陷可能有不同的形状。Gent and Wang (GW),8 and later Lin and Hui(LH) 计算了弹性体的能量释放率，并有一个小的形状缺陷，当弹性体受到静水张力的影响时。利用之前得到的弹性空化结果，GW的能量释放率为: 。后来，林和辉指出，GW高估了能源的释放率。LH提供了一个近似解析方程来估计一个不可压缩的Neo-Hookean材料的能量释放速率，如。上述方程已证明是有限元模拟计算的能量释放率的一个很好的近似，当静水张力小于弹性体剪切模量的90%时。除了上面讨论的工作，哈钦斯等人最近构造了考虑弹性变形和断裂的空化流变学测试的机制图。
在这篇文章中，研究了软固体中气相-断裂的过渡过程。我们重新考虑这个问题，假设在一个软固体中有一个球形空腔，在洞壁上有一个环形的边缘裂纹，如图1所示。边缘裂纹的引入使我们可以通过一个清晰定义的压裂表面来研究能量释放率。当边缘裂纹很小，它可以被看作是一种微小的缺陷，在腔壁或小偏差的腔，从完美的球形形状。研究表明，当橡胶块与高压溶解气体或液体过饱和时，球形体的空腔通常可以在内部找到。当边缘裂纹的尺寸大于空腔半径时，所述的缺陷类似于材料上的一枚小硬币形状的裂纹。利用有限元数值模拟计算了不同水平静水压力或不同体积的空腔的边缘裂纹的能量释放速率。如果材料的断裂韧性已知，我们可以预测边缘裂纹的临界压力或体积。我们的计算也表明，根据载荷情况，裂纹可能以稳定或不稳定的方式生长。
Fig1研究了一种以外应用静水张力为研究对象的弹性体-断裂过渡模型的示意图。(a)在未变形的状态下，在弹性体中有一个环状裂纹的球形腔。(b)当外部应用的流体静力张力较小时，空腔扩张，无裂纹扩展。(c)静水张力足够大时，裂纹随着空腔膨胀而增大。
2数值模型
图1显示了我们的研究模型的示意图，研究了弹性体在外部静水张力作用下的汽蚀-断裂过渡。在之前的研究中，我们研究了软固体中的空化现象，在施加机械载荷之前，我们假设在材料内部存在一个小的球形谐振腔。此外，在空腔壁上引入了预先存在的环形裂纹，如图1a所示。当外部静水张力较小时，空腔扩张，腔壁延伸，无裂纹扩展，如图1b所示。当静水张力足够高时，裂纹扩展为空腔膨胀(图1c)。有人指出，在目前的研究中，我们忽略了空腔之间的相互作用。换句话说，我们假设在材料中，空腔是稀疏分布的。在之前的大多数研究中，这也是一个普遍采用的假设。
为了计算弹性体的变形和裂纹扩展的能量释放率，我们使用商业上可用的有限元代码，有限元分析标准，进行隐式准静态模拟。在有限元模型中如图2所示，利用几何对称性，我们只模拟了四分之一的球形弹性体。在未变形的状态, 球腔半径为R，环裂纹尺寸为a。弹性体Ro的外半径与空腔R半径的比值为200。在变形状态,，外压作用于弹性体的表面，这就导致了腔的膨胀。有限元模型的网格结构如图2b所示。网格在洞的附近被大大改进了。模拟的单元类型是CAX8H。有限元模型中元素的总个数是156 528。将不可压缩的新胡克超弹性模型分配给材料。利用ABAQUS中嵌入的轮廓积分函数导出裂纹尖端的j积分，计算出能量释放率。通过对裂纹尖端不同轮廓上的j积分的独立性进行检验，保证了结果的收敛性。
在有限元模拟的基础上，给出了两种不同加载方式下的能量释放速率的结果: 首先，将能量释放率绘制为裂纹大小与外部张力大小不同的函数; 第二，将能量释放率绘制成不同体积的腔体裂纹尺寸的函数。
Fig2在空泡过程中，计算能量释放速率的有限元模型的原理图。(a)在未变形的状态下，将半径R的球形弹性体引入到半径的球形弹性体中。一种长度为a的环形裂纹被引入到空腔壁。当流体静力张力作用于弹性体的外表面时，空腔扩张。有限元模型的网格结构如图(b)所示。在空腔壁和环形裂纹尖端附近，网格非常精炼。
3结果和讨论
当固体受到外部静水张力的影响时，在无限大不可压缩的新胡克固体内的球形空腔膨胀。
所述腔体的大小与静水张力的大小之间的关系，,
是在变形之前和之前的腔半径之间的比值，为Neo-Hookean固体的小变形剪切模量。从eqn(1)可以很容易看出，当施加压力接近250 m时，空腔的大小是无限增长的。因此, 空腔壁上的条纹可以大到足以引起材料的断裂。从eqn(1)可以看出，临界压力与初始腔尺寸无关。然而，在一些实验中显示，一个较小的腔体需要更大的压力才能生长到可见的气泡中，这表明在空泡过程中断裂的参与。众所周知，裂缝提供了一个内在长度尺度: ，其中为材料的断裂韧性。
在这篇文章中，我们考虑一个在弹性体内部嵌入一个小环裂纹的空腔，如图1所示。压力控制模式, 在弹性体的外边界上施加外部流体静力张力。图3为不同初始环裂纹尺寸的能量释放速率，如图3所示。注意到，由于材料的不可压缩性，外部应用的静水张力等效于膨胀压力在腔内的应用。从图3可以清楚地看出，随着压力的增大和环裂纹的大小，能量释放率增加。当压力接近2.5倍的剪切模量时，能量释放率无限制地增加。相比较而言, 我们也在图3中绘制了WS7和LH9的结果。当环形裂纹比腔体大得多时，我们可以恢复一个弹性体的能量释放率的结果，在一个弹性体中，由LH给出的静水张力。
图1a中的a/(R a)比1小得多，在矩形弹性体中，环形裂纹可以看作是长度为a的边缘裂纹，如图4a所示。基于简单的尺度分析，能量释放率可以给出。
其中w()为无裂纹矩形弹性体的应变能密度，然而，在同样紧张的状态下，k()是无量纲的函数，只取决于拉伸状态，a是边缘裂纹的大小。
对于一个矩形弹性体，以拉伸为简单延伸，在平面应力条件下，不同研究人员给出了几种不同的k()形式。例如，对于一个矩形薄橡胶片的中心裂纹，要进行简单的扩展，Lake13给出的表达式。另一种更广泛使用的k()的拟合形式是Lindley14，
工程应变。它已经Yeoh15指出，当应变很小的时候，上述方程偏离了线性断裂力学的预测。
Fig3对不同尺寸的环裂纹的水静张力大小的归一化能量释放率的依赖关系。当环裂缝比空腔半径大得多时，我们可以恢复一个弹性体在静水压力下的一个小的形状缺陷的能量释放率。当环裂缝比空腔半径小得多时，圆环裂纹可以看作是矩形带的裂纹。
Fig4 一个矩形Neo-Hookean带边缘裂纹的能量释放率的有限元计算，并受轴向拉伸的影响。该条带在计划应变延伸下，受简单的拉伸或轴向拉伸的影响。(a)有限元模型的示意图。在未变形的状态, 条带的宽度为w，它的高度h = 4w，边缘裂纹的长度为a = 1%w和5%w。模拟中的单元类型为CPS8R或CPE8H，分别用于平面应力条件和平面应变条件。(b)无量纲函数k()对轴向拉伸的依赖性。k()在eqn(2)中定义。
为了得到更精确的能量释放速率公式，我们对矩形超弹性带进行有限元模拟，如图4a所示。在未变形的状态, 条的宽度是w，它的高度是h = 4w。由于对称性, 这条带只有一半是模拟的。边缘裂纹的长度分别为a = 1%w和5%w。在变形状态, 轴向位移被施加在其边缘上，如图4a所示。分别利用CPS8R和CPE8H单元计算了平面应力和平面应变条件下矩形带的变形。如图4a所示，裂纹尖端附近的网格被大大细化。单元的总数是86 260。该材料将是不可压缩的Neo-Hookean固体。利用ABAQUS的嵌入函数，通过导出裂纹尖端的j积分来计算能量释放速率。基于数值结果，我们提出了在eqn(2)中定义的k()的拟合方程:
由eqn(4)给出的拟合结果用有限元模拟结果绘制在图4b中。当由eqn(4)给出，这与线性断裂力学的预测是一致的。图4b的结果表明，上述方程给出了从1到4的的改进预测。
据我们所知, 在平面应变条件下，矩形弹性体带边缘裂纹并受有限轴向拉伸，在文献中是不可用的。当变形很小，可以很容易地看出，轴向拉伸的k()形式对于平面应变条件和平面应力条件是相同的。利用有限元模拟, 我们确定有限变形，对于平面应变和平面应力条件，k()对于平面应变和平面应力条件仍然是相同的，如图4b所示，从轴向拉伸到平面应变条件下，从轴向拉伸中改变。
在腔壁附近的拉伸状态可以看作是一种广义平面应变状态。结果表明，在平面应变条件下，在广义平面条件下的变形超弹性材料的应变能态可以直接得到。腔壁的拉伸状态可以由l1 = l2 = l和l3 = l2给出。因此，能量释放率可由:
其中=，，可由拟合公式(eqn(4))给出。eqn(1)和(5)的组合使我们能够获得能量释放速率与裂纹大小之间的关系，如图3所示。eqn(5)给出的预测也与我们的FEM模拟一致。
在由Zimberlin等人所做的针状诱导空化实验中，18，水被不断地注入弹性体以诱导空化。空腔的空间完全充满了几乎不可压缩的水。因此，如果注水非常缓慢或准静态，弹性体的空泡过程可以看作是体积控制的过程。
受到针诱导空化实验的启发，在图5中，我们将能量释放速率作为环裂纹大小的函数来绘制。有固定体积的空腔，当裂纹长度较短时，其能量释放速率随裂纹尺寸的增大而增大。
当裂纹达到中等长度时，能量释放速率最大化。当裂纹较大时，能量释放速率随裂纹尺寸的增大而减小。在图5中，不同体积的空腔体的能量释放速率峰值由一条虚线连接。根据断裂力学, 当能量释放速率等于或大于材料的断裂韧性时，裂缝开始增大。这种增长可能是稳定的，也可能是不稳定的。从图5可以看出，对于固定的裂纹长度，随着腔体体积的增大，能量释放速率增大。因此, 具有一定的初始裂纹尺寸和断裂韧性，当腔体的体积增大到临界值时，裂纹就开始增大。如果初始环裂纹很小，即图5中虚线的左边，有固定体积的空腔，能量释放速率先增加，然后随着裂纹尺寸的增加而减小。这表明，裂缝可能先长得不稳定，然后在能量释放速率等于材料的断裂韧度时再被捕获，如图5所示的水平虚线。这种不稳定的裂纹扩展可能会导致水的压力下降。如果初始环裂缝很大，即在图5中虚线的右边，有固定体积的空腔，能量释放率随裂纹尺寸的增大而减小。这表明当腔体的体积足够大时，裂纹就会稳定地生长，也就是说，任何额外的裂纹增长都需要增加腔体的体积。
Fig5 归一化能量释放速率对不同体积的腔体环裂纹尺寸的依赖性。是未变形弹性体的初始空腔体积，是变形后的空腔体积。黑色虚线曲线连接不同体积的空腔的峰值。如果初始环裂纹尺寸较小(曲线的左侧)和材料的断裂韧性为G(点A在图中)，当腔体的体积足够大时(= 8)，环裂纹从A点到B点，裂纹扩展得很厉害，裂纹尺寸要大得多。这条裂缝随后被逮捕，而裂纹的进一步生长需要增加腔体的体积。
最后，我们要注意，本文所获得的结果是基于简化的几何结构，即在一个无限大的弹性体中嵌入的球形腔壁上的环形裂纹。由于软固体中的空泡过程，复杂形状和多重裂纹的空洞可能存在。此外，加载条件可能不同于压力控制和音量控制模型。
4结论
本文研究了弹性体内部空洞生长所引起的断裂过程。采用有限元法，我们计算含有球形空洞及其相邻环状裂纹的弹性体在静水张力作用下的能量释放率。取决于不同的加载方式和初始环状裂纹尺寸，裂纹在加载过程中可能会稳定或不稳定的生长。本文的研究结果加深对弹性体中空穴化过程的理解，并可结合空穴化流变学理论，预测软固体
全文共6003字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 5 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[9471]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
