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2017年第21次过程控制国际会议（PC）
2017年6月6日至9日，斯洛伐克，什特尔布斯凯普莱索
车辆侧向动力学的线性分析
Martin Mondek 和Martin Hromˇcacute;ık
电气工程学院
捷克布拉格技术大学。
Karlovo nacute;amˇestacute;ı 13,布拉格,捷克共和国
电子邮件:mondemar@fel.cvut。cz,xhromcik@fel.cvut.cz
摘要
本文介绍了地面车辆（如客车）侧向动力学的系统分析。结果基于最简单的单轨模型。结合直觉和“常识”期望值、赛车手和构造者的实际经验，对质量、惯性矩、轮胎优先顺序、车辆几何形状等物理参数对响应时间、阻尼比、固有频率和其他动力学特性的影响进行了介绍。我们认为这样的报告本身是非常独特和有用的：我们不知道有任何类似的现有报告能够提供车辆动力学现象的系统控制的观点。此外，未来的计划是应用现代系统模型为基础的控制设计方法，以提出某种程度上最简单的局部反馈控制器和有效的动力学修正方案，比如使用机械重构的扭矩矢量超越当前方法。
第一章 导言
从历史的角度来看，很多关于车辆动态行为的知识对机械工程师而言是已知的。但是，这并不涵盖控制工程师的观点。频率特性对于机械工程师来说是众所周知的，但是例如状态空间车辆模型的特征多项式的根，以及它们由车辆参数决定的的位置没有被很好地描述。
电动传动系车辆的最新技术改进为车辆的控制和稳定性提供了新的机遇。从系统和控制角度理解参数如何影响车辆操纵，可以为车辆控制系统带来改进。这项工作还可以为对车辆动力学系统感兴趣的人带来有趣的信息。
本文组织如下。对现有轮胎模型的选择的介绍和简单介绍在第二章。然后在第三章推导了非线性单轨车辆模型，并对模型进行了线性化。第四章重点讨论了线性车辆模型的线性分析和动态特性。最后，在第五章提供了结论和未来发展以及研究计划。
第二章 轮胎模型
汽车轮胎与路面之间相互作用的数学描述是描述车辆行为的建模和仿真的最大挑战。这样的模型可以用车辆状态作为输入来评价纵向和侧向的轮胎力。参考文献[1]或[4]中可以发现先进的轮胎特征和行为。
轮胎沿纵向和侧向传递的力通常用滑移曲线表示。 滑动曲线的例子如图1所示。本文只考虑侧向轮胎力，因此从现在开始只考虑侧偏角与侧向力滑动特性。
图1.横向运动的典型滑动曲线。
初始斜率为零侧滑角的特征称为标称转角刚度Calpha;0。
轮胎的侧偏角被定义为
其中侧偏角为alpha;，Vx和Vy是轮胎中心在轮胎坐标系系统的x方向和y方向上的速度。对于小侧偏角alpha;来说，侧向轮胎特征是线性的，侧向力Fy等于侧滑角乘以标称转弯刚度。该特性用于之后描述的线性轮胎模型。然而,随着侧滑角增加,轮胎开始超载到滑动曲线达到摩擦系数mu;max的最大值的点。随着侧偏角的进一步增加，轮胎开始超载到滑动曲线达到摩擦系数mu;max的最大值的点。 随着侧偏角度的进一步增加，轮胎不能传递更大的力Fy。
侧向滑移曲线不仅取决于轮胎特性，还取决于轮胎充气、表面条件（例如干/湿柏油碎石，雪，冰）、轮胎和路面温度等不同条件。它也随变化的垂向载荷Fz而变化。随着垂向载荷的增大，最大转移侧向力为Fy。假定垂向载荷仅取决于汽车的重量分布，并且这些力在车辆运动期间是恒定的。换句话说，本文既不考虑纵向载荷传递也不考虑侧向载荷传递。出于同样的目的，车辆的空气动力也被忽略。
A、巴塞扎卡lsquo;魔术rsquo;公式
基于对轮胎行为的经验测量，汉斯·巴斯坦因·巴塞扎卡的被广泛使用的经验公式可简化为4个主要参数(B、C、D、E)。纵向和侧向的轮胎力是独立计算的，以便更简单地实现和表示公式。巴塞扎卡的“魔术”公式的一般简化形式是:
其中参数B、C、D和E给出轮胎特征的形状，Fy是轮胎侧向力,alpha;是轮胎的侧偏角。
如果用轮胎滑移率代替侧偏角，则可以使用具有不同参数的相同的公式来估计纵向轮胎力Fx，及轮胎的对准力矩同理。
B、线性轮胎模型
线性模型是最简单的轮胎模型。它被定义为
其中,FX是轮胎纵向力,FY轮胎侧向力,lambda;是轮胎的滑移率,alpha;是轮胎的侧偏角，C0是滑移率系数，Calpha;0是侧偏角系数。
该模型只有当侧偏角接近0时才准确。该模型不涵盖轮胎的非线性行为。然而,该模型可用于车辆模型的线性化。这个线性化的模型后来被用于第四章。
第三章、单轨模型
在稳态转弯过程中，为了更简单地进行车辆动力学控制，需要简单的运动学车辆模型。本文描述的车辆单轨模型中只考虑车辆的平面运动。为了在车辆运动期间忽略载荷转移，车辆重心被投影到表面的平面中。因此只需要一个旋转和一个平移自由度来充分估计车辆状态。
车辆坐标系必须首先要被定义。从驾驶员的角度来看，车辆的x轴从重心指向车辆的前方，而y轴指向车辆的右侧。最后，z轴指向地面以遵循常用的右手坐标系。
图2车辆的单轨运动模型
描述平面车辆运动的单轨车辆模型如图2所示。车辆以速度v运动。在车辆的x轴与速度矢量之间的夹角称为车辆侧偏角beta;，定义为
其中Vx和Vy分别是车辆坐标系的x和y方向上的车辆速度。
图2中所示的车辆模型的微分方程可以通过在x和y车辆方向上的所有力以及在车辆z轴的所有力矩中的平衡直接导出。假设，该模型车辆是仅具有前轮转向功能的普通轿车。如前所述，空气动力学被忽略。
在以上的运动微分方程中，m是车辆的质量，v是车辆的速度，psi;是车辆的横摆角速度，Iz是关于z轴的惯性矩，lf和lr是前后轮胎中心分别到车辆重心的距离，侧偏角是beta;，sigma;车轮转向角，Fx，f和Fx，r分别是前轮胎和后轮胎的纵向力，Fy，f和Fy，r分别是前轮胎和后轮胎的侧向力。与横摆角速度相比，侧偏角的变化率非常小，因此可以忽略不计。
轮胎力Fy,f和Fy，r在所选择的轮胎模型的方程式中已经定义。轮胎位置和转向角度对轮胎的侧偏角有显着的影响，定义为
其中，sigma;是前转向角，v是车速，psi;是横摆角速度，beta;是整个车辆的侧偏角，lf和lr分别是前后轮胎的中心距车辆重心的距离，alpha;f和alpha;r分别是前轮和后轮的侧偏角。公式8和9在小转向可以改写为
其中，sigma;是前转向角，v是车速，psi;是横摆角速度，beta;是整个车辆的侧偏角， alpha;f和alpha;r分别是前轮和后轮的侧偏角。假设前轮转向角sigma;和车辆侧偏角beta;足够小，车辆运动微分方程5,6和7可以被线性化为
其中，m是车辆的质量，Iz是关于z轴的惯性矩，v是车辆的速度，侧偏角是beta;，sigma;是车轮转向角,psi;是车辆的横摆角速度，lf和lr是前后轮胎中心分别到车辆重心的距离，Fx，f和Fx，r分别是前轮胎和后轮胎的纵向力，Fy，f和Fy，r分别是前轮胎和后轮胎的侧向力。
前轮胎和后轮胎的侧偏角分别在公式10和11中定义。侧向轮胎力Fy，F和Fy，R可以使用选定的轮胎模型进行估算,为了简化，选择了线性模型。
假定车辆的加速度在稳态转弯机动过程中等于零。车辆微分方程是在侧向力Fy，F和Fy，R（参见等式3）的替代之后，并且使用等式10和11转换成以下状态空间模型
其中，车辆状态由车辆侧偏角beta;和横摆角速度psi;表示的。
第四章 线性分析
在前一章中，推导了车辆运动的线性稳态转弯模型。该简单模型可用于设计车辆的控制系统，从而提高车辆的稳定性或操纵性。
表格1 车辆模型的默认参数
|
重量 |
1500kg |
|
车速 |
15.5m/s |
|
垂向载荷 |
2000kg*m^2 |
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车长 |
3m |
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前轮胎中心到车辆重心的距离 |
1.3m |
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后轮胎中心到车辆重心的距离 |
1.7m |
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前轮胎的标称弯曲刚度 |
100000N/rad |
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后轮胎的标称弯曲刚度 |
120000N/rad |
获得的线性模型（方程15）是一个简单的二阶线性状态空间模型，其具有一个输入（前轮的转向角sigma;）和两个状态（车辆侧偏角beta;和横摆角速度psi;）。 但是，每个物理参数都会以不同的方式影响此模型的静态和动态特性。 因此，对我们而言，这是重要的控制。
设计师了解车辆的质量和几何参数变化对横向模型模式的时间常数，固有频率和阻尼比有何影响。这是本章的目标，也是整篇论文的主要贡献之一。
选择车辆模型的参数以匹配通常的乘用车。一个选定参数在每小节中有所不同。这种模拟不符合现实，例如，如果车辆的重量增加或重心向前移动，它直接影响轮胎的转弯刚度系数（通过每个轮胎上的不同垂向载荷）和整车的惯性转矩。
本文每个小节对各特征多项式根的位置影响进行了详细的描述，并给出了车辆横摆角速度对前轮方向步进变化的时间响应以及波特图。每个图形都包含一个箭头，显示所选参数值增加时的变化方向。
A.车速
在车辆转弯过程中，对车辆操纵有很大影响的主要参数之一是速度。车速v仅出现在系统矩阵A（式16）的分量的分母中。 因此，随着速度的增加，系统的极点应该接近于零。
前面提到的趋势如图3所示。随着车速v的增加，系统的极点向零移动（用黑色箭头表示）。 这是可能的，在某些时候，两极变得复杂。
这种行为对车辆操纵性能有另一个影响，这可以在系统的时间响应中看到（图5）。随着车辆速度的增加，车辆横摆角速度psi;（稳定状态）也增加到临界点。随着速度的进一步增加，横摆角速度（稳定状态）下降，导致拐角半径增加。
图3.随着速度增加的线性车辆模型的极点
图4.线性车辆模型随速度增加的波特图
图5.线性车辆模型随速度增加的阶跃响应
B.重心的位置
影响车辆操纵性能的另一个有趣的参数是重心的位置。在图6,7和8中，重心位置的变化表示为前轮与重心之间距离lf的增加。车辆的长度保持不变，从而后轮与重心lr之间的距离减小。车速设定为v = 50千米/小时。
众所周知，将重心移向前轮可以使车辆的反应更快，后轮抓地力更小。 将重心移向后轮则相反，转角更小，后轮抓地力更大。
这种现象可以在图11中的车辆系统的时间响应中看出。上升时间减少直到重心更接近前轮（lf = 1.25m）的时刻。然后上升的时间再次增长。
当车辆以更大的速度移动时，两极的位置和运动也不同。如果重心接近后轮，则车辆在极点位置方面可能变得不稳定。这种行为如图9,10和11所示。
图6前后轮中心与汽车重心距离增加的线性车辆模型的极点。
图7.前后轮中心与汽车重心增加的线性车辆模型的波特图。
图8. 前后轮中心与汽车重心增加的线性车辆模型的阶跃响应。
C.惯性矩
惯性矩在本节中有所变化。这种效果可以通过将车辆发动机和变速器从车辆中心移动到前方和后方来实现。车辆的重心应保持在同一位置。
运动车辆设计的常见做法是尽可能减小整车的惯性矩。系统的时间响应（图18）证实了这种现象。随着惯性矩增加，系统输出的时间响应变慢。
图9. 前后轮中心与汽车重心增加并加速的线性车辆模型的极点。
图10. 前后轮中心与汽车重心增加并加速的线性车辆模型的波特图。
图11.前后轮中心与汽车重心增加并加速的线性车辆模型的阶跃响应。
图12.具有不同车辆惯性矩的线性车辆模型的极点。
图13.具有不同车辆惯性矩的线性车辆模型的波特图。
图14.具有不同车辆惯性矩的线性车辆模型的阶跃响应。
D.重量
增加重量通常会改变车辆的惯性矩。但是，我们假设在本小节中仅给车辆重心增加重量，因此惯性矩不会改变。由于电机通常放置在中部发动机车辆的重心附近，因此可以通过增加或去除中电发动机的一些重量来实现该修改。
图15.随着重量增加的线性车辆模型的极点。
图16.线性车辆模型随着重量增加的波特图。
图17.线性车辆模型随着重量增加的阶跃响应。
增加到车辆重心中的附加车辆重量导致车辆的较小横摆角速度和较少横摆角速度倾倒响应。这种现象与常识相符 - 随着车辆增加重量，它变得不易操纵。 如果我们去掉一些重量，在相同的转向角度下，我们可以实现更大的横摆角速度和更快的车辆响应。
E.表面条件
地面条件的变化对侧向车辆行为有很大影响。本节研究了轮胎摩擦系数的差异。其他参数应保持不变。
随着摩擦系数的增大，轮胎抓地力更强，能够传递更大的侧向力，并且车辆具有更大的横摆角速度。由于车速设定为恒定值，横摆角速度的增加导致转弯半径的减小。
图18.不同轮胎摩擦系数的线性车辆模型的极点
图19.随着轮胎摩擦系数增加的线性车辆模型的波特图。
图20.随着轮胎摩擦系数增加的线性车辆模型的阶跃响应。
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