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离散偶极子近似： 综述和最新发展
M.A. Yurkina，b，lowast; and A.G. Hoekstraa
a 阿姆斯特丹大学理学院计算科学，Kruislaan 403，1098 SJ，荷兰，阿姆斯特丹
b 俄罗斯科学院西伯利亚分院化学动力学与燃烧研究所，俄罗斯新西比尔斯克研究所 Str. 3，630090
摘要
本文综述了离散偶极子近似(DDA)方法，这是一种模拟任意形状粒子散射光的通用方法。我们将该方法置于历史背景中，并从电场积分方程的一般框架的观点讨论了最近的发展。我们回顾了DDA的理论及其数值方面，后者对于该方法的任何实际应用都是至关重要的。最后，指出了DDA在光散射仿真方法中的地位，并对今后可能的发展进行了讨论。
关键字：离散偶极子近似，综述，光散射仿真
1导论
离散偶极子近似 (DDA) 是计算任意几何形状和组成的粒子对电磁波散射和吸收的一般方法。最初的 DDA 是由 Purcell 和 Pennypacker (PP) [1] 提出的， 他们用一组点偶极子取代了散射体。这些偶极子和入射场之间相互作用， 产生了一个线性方程组， 求解得到偶极子的极化矢量。所有需测量的散射量都可从这些极化矢量中得出。DDA是由Draine和他的同事进一步开发的[2-5]，他们开发了一种公开可用的计算机代码DDSCAT[6]来推广这种方法。后来证明， DDA 也可以从电场的积分方程中推导出来， 通过将散射体离散成小的立方体。这个推导显然首先由Goedecke和O#39;Brien[7]完成，然后由其他人进一步发展(例如，参见[8-11])。需要注意的是，由DDA的两种推导得到的最终方程本质上是相同的。唯一的不同之处在于，基于积分方程的推导使我们对近似有了更多的数学理解，从而为改进方法指明了方向，而基于点偶极子的模型在物理上更加清晰。
DDA被一些研究人员称为耦合偶极子法或近似法[12，13]。还有其他方法，如体积积分方程组[14]和数字化格林函数(DGF)[7]，它们都是完全独立于PP开发的。但后来被证明与DDA等价[8，15]。在本文中，我们将使用术语DDA来指代所有这些方法，因为我们用一个通用框架来描述它们。然而，基于电磁场的体积积分方程，如具有不同基底和测试函数的广义矩法(MoM)，很难将DDA与其他类似方法明确区分开来[16-19]。我们认为，DDA的一个基本方面是解决“物理上有意义的”内部场或它们的直接衍生物，例如极化，在这个过程中起着不可或缺的作用。换句话说，任何DDA公式都可以解释为用一组相互作用的偶极子取代散射体；这将在第2节中进一步讨论。不考虑DDA的方法的一个例子是具有高阶分层勒让德基函数的MoM [17]。
DDA方法是光散射研究领域的一种常用方法，目前已有多位学者对其进行了综述。Draine和Flatau[4]进行了广泛的审查，几乎涵盖了1994年以前DDA的所有发展。Draine[5]最近的一篇综述主要关注应用和数值方面的考虑。在Wriedt[20]、Chiappetta和Torresani[21]、Kahnert[15]以及Mishchenko等人[22]的和Tsang等人[23]的著作中，对DDA理论和其他光散射模拟方法进行了讨论。Jones[24]将DDA置于不同的粒子表征方法中。然而，自1994年以来，这些手稿中没有提到DDA的许多重要发展。那些被提到的通常被认为是次要步骤，而不是放在一个通用框架中。此外，就我们所知，DDA的数值方面从来没有被广泛地研究过——每篇论文只讨论了几个特定的方面。在这篇综述中，我们试图填补这一空白。
第2节中开发了一个通用框架，以便进一步讨论不同的DDA模型。该框架基于积分方程，因为它允许对所有DDA开发进行统一描述。然而，连接到一个物理上更清晰的点偶极子模型的讨论贯穿整个章节。文中还讨论了DDA公式误差的来源。
第三部分对DDA的物理原理进行了综述，并对不同模型的结果进行了比较。第3.1节从理论的角度对极化率和相互作用项的不同改进进行了综述。讨论了Cabs的不同表达形式。使用不同公式的仿真结果的比较见第3.2节。第3.3节讨论了一组球体的特殊情况，并允许特殊的改进和简化。在第3.4节中，对不同的重要修改进行了审查，这些修改并不完全属于第2节所述的一般框架。还讨论了为某些特殊目的而增强的DDA。
第四节讨论了DDA的不同数值方面。这些主要涉及求解非常大的线性方程组(第4.1节)。第4.2节描述了求解DDA线性系统最简单的迭代过程，具有明确的物理意义。第4.3和4.4小节分别描述了矩形网格式DDA交互矩阵的特殊结构及其在降低计算成本方面的应用。在4.5小节中讨论了加速计算的一般方法，这些方法不需要矩形网格。第4.6小节介绍了提高重复计算效率的特殊技术(例如各向同性)。
第5节回顾了DDA与其他方法的数值比较；讨论了其优缺点。第6节总结了审查工作，并讨论了DDA未来的发展。
3.2 DDA仿真的准确性
多年来，许多关于DDA模拟精度的结果已经发表。然而，通常很难系统地比较相关的手稿，因为它们都使用不同的独立参数，例如尺寸参数x、折射率m或离散误差，作为测量误差的函数。我们将用参数y = |m|kd或yRe = Re(m)kd来描述离散化。尽可能使用前者；然而，在某些情况下，使用yRe对结果的描述更为直接。球体散射的精度结果如表1所示。关于这一主题的所有手稿都可以分为两类：一类是固定x并改变N(或者等效为每个球半径为a/d的偶极子数)和y，另一类固定a/d并用y改变尺寸参数。前者更容易解释；后者更容易模拟。为了便于比较不同的方法，我们同时提供了x和a/d，但是它们中的一个依赖于另一个。关于这些结果的一些补充信息如下。
Draine和Goodman[3]比较了a/d = 16时球体横截面的RR、DGF和LDR。DGF通常比RR更准确。对于|m - 1|le;1，LDR的结果优于或可比于DGF，对于m = 2 i，LDR与DGF具有可比性，对于m = 4 3i，DGF优于LDR。在对LDR DDA的综述中，Draine和Flatau[4]总结出，对于|m|le;2的横截面，在yle;1的情况下，其精度可以评估为几个百分点。在这种情况下，微分截面有令人满意的精度：相对误差高达20-30%，但只有在微分截面绝对值很小的情况下。对于球形，即使在|m|le;3时也能得到这样的结果。将CLDR与LDR[43]进行比较，只会产生较小的差异。一般来说，CLDR比Csca的精度稍好一些，但比Cabs的精度差。
Piller和Martin[44]通过研究x = pi;， 2pi;和m = 1.5的球体在y轴上电场远场(Psi;)平均相对误差的依赖性，比较了FCD和LAK。结果表明，在0.7le;yle;2.5的范围内，FCD(汉明窗滤波器的介电常数为ε)大约比LAK准确3倍，并当yle;0.4时给出了类似的精度(对大球体而言)。WD和传统方法[13]的比较体现在x = pi;，2pi;和m = 1.32，2.1 0.7i的球体。LAK用于测定极化率。对于0.4le;yle;1.3范围内的m = 1.32，总体精度仅略有提高，但对某些y值的误差峰值进行了平滑处理。对于m = 2.1 0.7i，在整个yle;1.3范围内，精度提高4-5倍。皮勒还向[10]表明，WD和FCD结合使用效果更好。一般FCD在准确性上降低的ε的实部的负面影响，WD则降低ε的虚部的。
Rahmani等人[48]表明，在yle;1的范围内，固定a/d = 16， m从1.8 0.4i到7.4 9.4i， RCB计算截面明显优于CM。比较静态情况下的两个修正(LDR和RR)，它们给出了相似的总体结果。与CM相比，所有情况的总体准确率提高了2-5倍。对于薄板，研究[46，48]表明，使用RCB计算的内部场与CM计算的内部场主要在界面附近不同，其中RCB产生的误差要小得多，几乎与远离界面时相同。
Collinge和Draine[47]在计算a/d = 12时，比较了LDR、RCB和SCLDR对球体横截面的影响。结果表明，m = 1.33 0.01i时，LDR和SCLDR在yle;0.8范围内优于m = 5 4i时，SCLDR和RCB优于m = 1.33 0.01i时。还研究了在固定x和不同m(从1.33 0.01i到5 4i)条件下增加N的球面和椭球体截面的收敛性。所有情况中，SCLDR的结果最稳定，最接近或最准确；然而，对于具有较大Im(m)的椭球体，RCB对于Csca给出了更为精确的结果，尤其是对于较大的y。
不同的作者也研究了DDA对更复杂形状的性能。Flatau等人[50]将双球层的DDA模拟与多极膨胀的精确解进行了比较。当m = 1.33 0.01i， a/d = 16， yle;0.8时，LDR的精度是DGF的几倍，Csca和Cabs的误差均小于0.5%。Xu和Gustafson[51]对LDR进行了类似但更广泛的研究。m = 1.6 0.008 i， a / d = 25，和yle;0.4，错误在Cext，Cabs，lt;costheta;gt;在10%以内。对于y = 0.81， S11的角相关误差高达20%，而S12和S21则完全错误。对于m = 2.5 0.02i，当yge;0.3时，截面误差超过10%。当y = 0.3时，穆勒矩阵元素的角度依赖性错误在10 - 20%内，并随y的增加而迅速增加。当固定x = 3和m = 1.6 0.004i时，错误出现在Cext， Cabs，lt; costheta;gt;从10%降低到1%，而y从1减少到0.2。对于y = 0.33， S11的角依赖关系与严格解吻合较好，而S12和S21在一定的双球方向上存在显著差异。
Hage等人[14]将LAK与多孔立方体微波实验结果进行了比较。利用m = 1.362 0.005i， y = 0.64， N = 5504，除极小值外，与角散射模式实验结果的差异小于40%。研究了具有相似参数的立方体、片状和圆柱体的光散射特性，得到了实验与理论的差异比较。除极小值外，理论误差估计小于10%。
Iskander等人[34]对小细长椭球体进行了有限的LAK试验，并与迭代扩展边界条件法进行了比较。采用N = 64，长短轴比为20的情况下，分别计算m = 1.33 0.01i和1.76 0.28i时长轴的最大尺寸参数分别为10和0.5。散射截面误差分别为21%和11%。Ku[52]比较了LAK和CM以及a1项对于不同形状的影响，但是他的结论是基于一个大的参数y(高达2)，因此值得怀疑，这里不再讨论。
Andersen等人，[53]研究了DDA对几个球体的瑞利尺寸团簇的性能(大多数DDA公式相当于CM)。对几种组分材料进行了测试，均在研究区域具有较高的折射率。结果表明，对于非常高(高达13.0)和非常低(低至0.12)的Re(m)，使用固定计算资源时，DDA不能收敛；单个球体的直径可使用多达30个偶极子。
它可以得出的结论是，比球体更复杂的形状的粒子更难用DDA建模，同样的m和y的情况下，将会导致更大的错误。这种效应一般可以通过增加表面体积比来解释，从而增加边界子体积的比例[32]。另一个可能的原因是复杂的区域，例如团簇中两个粒子之间的接触，电场的快速变化会降低整体精度。然而，在这一普遍趋势中有一个明显的例外。形状，可以精确地建模一组立方偶极子，例如一个立方体，可以使用DDA比球体更精确地模拟，特别是对于较小的y[32]。
Draine和Flatau[4]引入了一个用于离散化的“经验法则”：在介质中每波长使用10个偶极子(即y或yRe = 0.63，取决于说明)。虽然该方法被广泛应用，但当使用这种离散化方法时，其计算结果的准确性很难得到先验的推导。Draine和Flatau自己基于一系列的测试模拟得出了误差的估计。上述估计数列于表1；它通常被引用为“在横截面上的几个百分点的准确性”。然而，它可能大大高估或低估了误差，特别是对于大尺寸参数。而且，即使在其应用的规定范围内(|m|le;2)，也不能完全解释对m的依赖关系，因为DDA精度随着m的增加而迅速下降(见表1)。但是，经验法则对于很多应用来说是很好的第一猜测。
对DDA精度的研究大多局限于积分散射量，最多也仅限于S11的角依赖关系。只有少数手稿研究了其他散射量。例如，Singham[54]利用CM极化率模拟了球形和较不致密粒子的穆勒矩阵元素S34的角依赖关系。结果表明，与S11相比，精确地模拟该元素需要更小的y值。对于x = 1.55， m = 1.33，当y = 0.8时， S11的计算已经是准确的，而对于S34，则要求yle;0.2。也有报道称，对于像盘和棒这样的不太致密的物体，由于偶极子之间的相互作用较小，所需要的y值较大，分别为0.4和0.55。然而，Hoekstra和Sloot认为[55]，这种效应主要是由明显的S34对表面粗糙度的敏感性造成的，如果y是固定的，这对于较小的尺寸是显著的。结果表明，对于x = 10.7和m = 1.05，由于使用的偶极子数量较多，当y = 0.66时可以获得很高的精度。
内部场是DDA的一个中间结果。不能与实验结果直接比较；然而，所有测量到的散射量都是由它们推导出来的。因此，研究它们的准确性可以揭示出对DDA误差本质的更深入的理解。Hoekstr
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资料编号：[2509]
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