英语原文共 17 页
利用附息债券交易价格校准短期利率期限结构模型
ErikaGomes-Gonccedil;alves; Henryk Gzyl; Silvia Mayoral
重点
-
- 我们提出了一种从交易价格中获得零息票债券的方法。
- 该方法是非参数和无模型的。
- 该方法可以扩展去解决短期利率结构。
- 该程序基于均值最大熵的方法。
- 我们将其性能与传统方法进行比较，以实现价值互换
摘要：在本文中，我们使用均值最大熵的方法来提供一种无模型非参数的方法，该方法仅使用市场数据来给出零息票债券的价格和短期利率的期限结构。使用的数据包括市场上报出的一些附息债券的交易价格范围。然后将在第一阶段中获得的零息票债券的价格作输入求解递归方程，以确定短期利率结构的二项式重组模型。
关键词：零息票债券；短期利率模型校准；均值最大熵；利率互换
1.介绍和准备
为了引入必要的符号并使该注释尽可能的自包含，在前两个小节中，连同要解决的问题，我们回顾了利率的一些基本点，我们回顾了利率衍生品的估值是如何在二项式利率模型中进行的。然后我们继续说明要解决的问题和论文内容的描述。
1.1根据买卖差价确定价格
利率即期期限结构是现金流量的估值和确定各类金融产品价格的关键是输入。因此，有必要将债券价格的期限结构与债券的市场价格联系起来。在陈述要解决的问题之前，我们将建立要在整个过程中使用的符号。首先，我们将考虑不失一般性的T年时间范围，我们划分N=2T期，并且我们假设所有的现金交换都发生在每个期限的结束时。因此我们以期为单位标记时间，所以t=0,1,hellip;,N表示经过的半年数。
通过我们表示在t时刻的一个单位货币在t=0时刻的价值。因此一致性要求，金融关系有。我们排除利率是负的且违反这种约束的情况。和0时刻的价格相关的现金流（一系列付息）发生在每半年结束时，这些现金流在t=0时刻的现值定义如下：
(1.1)
，t时刻的一个单位货币在0时刻的价格也被称为“贴现因子”。贴现因子由中央银行发行息票债券是得借款价格决定。该领域的新人可以参考写的一本很好的书，该书讲解了关于现金流量估值、利率等概念，尤其是无套利（公平定价）理论，论证了为什么（1.1）中F（t）是线性的。
遗憾的是，中央银行没有对所有的时间t指定贴现因子。但是他们通过发行不同期限的有和没有息票的债券来隐含的做到这一点。我们用表示发行的债券的到期时间，其中M是可得到债券的数量。其债券中隐藏的现金流可以表示为其中。也就是说，是第i个债券在第t个半年结束时支付的息票。按照惯例，我们认为当时。
这种情况产生的数学问题，可以通过债券价格和收到的息票中包含的信息确定零息债券的价格。债券的价格（它的现值，即t=0）由以下给出：
(1.2)
例如，央行发行了十几个债券，而期限从一期到30年不等，确定（1.2）中的将是一个不适定的线性逆问题，对解有凸约束。，约束来自条件
实际上，确定（1.2）中的还有两个复杂的问题。有时候市场上给出的债券价格是一个买卖价格范围，不仅如此，价格也有可能被错误的报价（或者错误的定价），在这种情况下（1.2）将被以下公式取代：
(1.3)
其中就是债券交易价格范围。我们事先提到，有时候买卖差价可能很小。注意到即使价格是完全已知的，价格之间也可能存在一些不一致之处。在这里是来挑选这些，并且是公式（1.3）中未知数的一部分。并且这些误差的可能范围对（1.3）的公式进一步的限制
本说明的目的之一是展示如何确定的和受上述约束并满足等式（1.3）的
在之前的一篇文章中，，我们展示了在确切知道价格时如何解决这个问题。在那里，我们回顾了几种基于几种样条插值法的解决问题的方法，并提供了这些方法的参考文献列表。遗憾的是，我们遗漏了一些其它解决的方法。读者可能会努力去回顾，和的一些文献来解决手头上的数学问题
一旦已经被确定下来，我们将使用它们来校准短期结构的二项式模型。但是首先，为了完整性，然我们回顾一下有关利率期限机构和二项式模型的一些例子。
1.2随机利率案例
债券期限结构是指由指定的债券价格的集合。在确定的情况下，是指在时间t时刻的一个单位货币在时间k的价格。这些与零息票债券价格关系为。当时，短期利率概念由以下引出：
标记约定的原因，短期利率是指在[k,k 1]之间利率，在时间间隔的开始利率就是已经知道的。最后的等式为：
(1.4)
显然，如果短期结构为正，则是越来越小。这个非常好、有用和广泛使用。上述建模缺少的是，实际的短期利率（可被视为期限结构的构成单元）应该被视为随机的。请注意，在任何时间开始时，该期的短期利率因该是已知的，因此随机性意味着短期利率超过当前期的利率是未知的，并且将由随机变量来表示。所以需要进一步的建模。
就描述随机性的建模而言，重组二项式模型大概是最简单的模型，它允许我们捕获短期利率的内在随机性的许多特征，并且可用于计算利率衍生物的价格。下面我们简要回顾一下该模型的属性。参见尤其是了解更多的细节的参考资料。我们最终的目的是使用上一节中描述问题的解决方案作为确定重组二项式模型框架中短期利率输入。
在这个模型中，随机性指定如下，基础随机性由长度为N的二进制序列建模，也就是说，我们选择作为基本的概率空间，并且作为事件的空间，所有的类都是的子集。如果表示第k次的投掷结果，二项式模型假设是在时的一个可能得。我们还要假设独立且具有相等的分布概率，这导致是随机变量。
让我们用来表示在时间间隔期间短期利率的值，如果在这一期的开始，世界时间处于。在时间间隔结束时，可能发生以下两种情况之一：且时的状态变为，期间的对应短期利率变为；且时的状态变为，的短期利率为。为了简化表示，我们建议使用，如上所示，表示在时的随机状态。使用这种方法，在时间0时刻的一个单位货币在时间t时刻的一种可能得价值是：
(1.5)
也就是说，我们在未来日期的储蓄价值将取决于从现在到未来的市场情况，并且它将由随机变量建模。
在随机的情况下，术语结构是随机过程的组合。为了说明他们的属性，我们需要引入更深一层的记号。与样本空间一起，我们考虑一个代数集合，定义且。为了完成框架，常假设是每一个，债券价格在时间0时刻的现值是一个鞅，更明确地说，以下等式成立：
(1.6)
现金流（可能是随机的）在0时刻的价格由以下算式给出：
(1.7)
(1.7)公式变化如下。在时间t支付1的零息票债券在时间0的值（价格）通过计算如下：
(1.8)
这将在时间0时刻的零息票债券的价格与短期利率挂钩。还要注意，如果支付价格是1，状态j在时间t发生，则：
(1.9)
其中，是集合A的指标函数。显然我们有：
(1.10)
我们将称为市场处于状态j在时间t支付1在随机波动时间0时刻的价格，以下循环在将重组二项式模型中与短期利率的关系起着重要作用，请参阅了解更多细节。
定理1.1.假设是独立的，且。则以下循环关系成立：
这里表示市场处在状态时间时刻，在期间得贴现因子。
现在让我们进行一些计算，为递归计算短期利率做好准备。首先观察，在t=0时，区间[0,1]的利率，或等价的，债券到期价格已知并有以下关系
现在假设我们已经确定状态价格。根据(1.1)-(1.8)-(1.9)-(1.10)以及定理1.1 我们能够得到和和和关系如下：
在第一行中，我们写的期数是j=0和j=t 1，剩下的在第二行。这个恒等式可以重新排列成：
(1.11)
该等式加上(1.8)和(1.9)将用作递归确定的基础。值得注意的是，由于，对于t=1时等式(1.11)如下所示：
1.3要解决的问题和内容的描述
我们已经提到，这项工作的第一个目标是使用公式(1.3)结合标准最大熵的方法的扩展来确定零息票债券的价格。通过前一节中介绍的表示方法，我们可以更准确的说明第二种：它使用最大熵技术来确定短期利率的二项式结构，即从第一部分中确定。另外，为了便于比较，我们还将使用来确定两个参数模型的二项式结构，（简称BDT）以及(简称HL)模型。
这两个问题都包括求解对解有凸约束的线性方程组，并且数据被给予一个区间。均值最大熵法（MEM）是解决这类问题的一种有效方法为了完整起见，我们在第2章中介绍了此方法的通用版本。
在第3章中，我们解释如何使用自适应方法处理问题(1.3)的约束。在第4章中，我们首先回顾了BDT和HL短期利率模型的参数化。然后，我们解释第1.2节中的结果如何导致约束线性问题的递归集，以及如何使用最大熵技术来获得无参数的短期利率。
第五章专门用于描述数值结果。首先我们将检查对于给定间隔的数据情况，然后我们将检查噪声（或可能的错误定价）对零息票价格曲线的影响。
然后我们将继续工作的第二个目标，即从零息票债券中提取处短期利率。为了便于比较，首先我们校准两个标准参数模型（BDT和HL）。之后我们使用最大熵的方法进行非参数校准。然后我们比较三个程序的输出。由于这三种方法为我们提供了短期利率的二叉树，为了比较三种程序的输出，我们考虑利率互换。我们研究了如果利率是由参数和非参数方法得到的二项树的利率，交换买方会怎么做。最后我们做了一些总结性的评论。
2.均值最大熵法
在本节中，我们建立了均值最大熵的基本形式。首先，让我们在上下文中考虑(1.7)的表达式。我们要解决的问题是找到和例如
是一个矩阵，并且集合、和应该在他们周围的空间中突
资料编号：[5192]
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
