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广义麦克唐纳多项式的因式分解
Ya.Kononov
兰道理论物理研究所，俄罗斯切尔诺戈洛夫卡
HSE，数学系，俄罗斯莫斯科
- Morozov
ITEP，莫斯科117218，俄罗斯
信息传输问题研究所，莫斯科127994，俄罗斯
国家研究核能大学MEPhI，莫斯科115409，俄罗斯
摘要
Schur函数的一个显着特征— 中剪切和连接算子的共同特征函数 —它们将因式分解为时间变量空间中特有的双参数拓扑轨迹，所谓的量子维数钩子公式（S）的代表性，并在各种应用中发挥重要作用。这种因式分解是基于麦克唐纳德多项式的层面上存在的。我们寻找我们寻找它对广义麦克唐纳多项式（GMP）的进一步推广，与环形Ding-Iohara-Miki代数以相同的方式关联，它们在Seiberg-Witten-Nekrasov理论的现代研究中起着核心作用。在最简单的第一个副产品本征函数的情况下，GMP只依赖两组时间变量，我们发现了一个弱分解—在拓扑轨迹的一维切片上，已经是一个非常平凡的特性，要求证明和更好的理解。
广义麦克唐纳多项式（GMP）[1]在AGT关系[4,5]的6d版本[2,3]和谱二重性[6]的现代研究中扮演着越来越重要的角色。与此同时，它们是相对较新的特殊功能，远未得到充分理解和清晰描述。它们是引入的广义Jack多项式的变形[7]。即使是关于它们的最简单的问题也没有得到答案。在本书中，我们解释了其中的一个问题—在此GMP水平上，经典，量子和麦克唐纳尺寸的钩公式会发生什么。我们发现它们存在，但只有部分—在时间变量空间中的一维线上。提升到整个二维拓扑轨迹仍有待发现。
我们由回忆Schur函数，随图像（Young 图）R以及很多时间变量（事实上，特殊的仅仅随而定，并且k=#R中的框）而定开始。它们可以很好地分解为奇特的二维拓扑轨迹Coarm
而coleg 是图中框的普通坐标。为了在整个文本中保持记号的连续性，在（1）中我们从头开始称相关参数t而不是q。
（1）
（2）
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l |
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忽略简单的总体系数常常是方便的，并且用（2）式的乘积公式代替对数为plethystic对数的多项式表达式，我们使用A = 和t = 的定义。
（3）
（4）
Plethystic指数是f的对称代数的特性，作为的表示。通过的因式分解，实际上意味着它的plethystic对数f是一个多项式，更一般地说，是一个有整数系数的有理函数。着名的Gopakumar-Ooguri-Vafa假设[8]是，这不仅是量子维数，而且也是任意结的HOMFLY多项式（在这种情况下，量子维数与不结团相关）。
由于（2）和（3）中存在双重乘积/和，所以考虑它们的连续性是很自然的，其中引入了第二个参数，通常称为q（对于节点来说，这意味着从HOMFLY变为超和超多项式[9]）。Schur的最新版本是麦克唐纳多项式[10] ，它与Schur函数不同 - 明确地取决于q和t。如果t与（1）相同，则（2）升至
（5）
（6）
我们为Young图的特征引入了一个特殊符号
（7）
以及
（8）
它充分描述了麦克唐纳维的合乎逻辑的对数。和标签中的另一颗星强调他们不依赖于A。
量和是S代数的表示R的维数的变形，其由于Weyl公式而因式分解，因此称为量子和麦克唐纳维度。在前一种情况下，它们可以被认为是（S）的表示R的分级维数，而在后一种情况下，仍然没有被普遍接受的群体理论解释。在没有这种解释的情况下，麦克唐纳多项式不是作为字符，而是用其他不那么简单的方法—其中推广到GMP目前仅仅是作为Calogero-like Hamiltonian的特征向量的定义。这些术语中的因式分解不是直截了当的，实际上是变量分离现象，或多或少等同于相关理论的可积性。它在这些方面的实际推导通常非常繁琐。然而，分解发生的事实可以通过实验观察到，远在证明之前。 派生和真正的理解。我们在这封信中的目标是在GMP的情况下寻找这样的证据。
GMP依赖于一组Young图和一组时间变量{在下面我们考虑最简单的非平凡情况，当有两个时：两个年轻图和两套时间。那么只有一个变形参数加到t和q上，我们称之为Q。因此，所讨论的GMP将用表示，并且与Schur函数[11]完全类似，它们是量子剪切与连接算子的本征函数，它是DIM代数的哈密顿（关于定义的细节见[2,3]）：
（9）
（10）
有点显而易见的是，只需要一个哈密尔顿函数来描述整个GMP集合—不需要更高级的哈密尔顿函数，因为它的所有特征值都是非退化的。对于中的标签1，它指的是DIM中的第一个副产品，更高的副产品为GMP提供了汉密尔顿基元，取决于更多的时间变量。
明确地说，“自然”正态化中最简单的GMP—与分解性质看起来是一致的—是：
当所有= 0时，GMP就变成普通的的麦当劳多项式
（11）
并因此将的拓扑轨迹（1）分解，即，
， （12）
然而，对于= 0，它们仍然是相当复杂的函数：
（13）
这看起来不像的一般表达式那么简单。从这些例子已经很清楚，GMP是Q的非平凡功能。而且，这种复杂性似乎仍然限制在拓扑轨迹上。
然而，如果我们看到的是正确的数量，情况并非如此 - 我们的观点是，在A = 0和= 0时，Q对于进一步的因式分解系数是合乎逻辑的：
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（14） |
有关更明确的表达式，请参阅下面的（32）。 这里 **表示特殊轨迹
（15）
并且是由双重角色构成的：
（16）
请注意，对于GMP，开关是一个不平凡的操作，由DIM代数R矩阵[12]的作用描述。这意味着R矩阵结构与分解轨迹（12）和（14）的两个截然不同的分支之间有趣的相互作用。
我们检查了分解猜想（14）直到ve，即为这里有一些特殊的例子：
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的Plethystic对数 |
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[2,1,1] |
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[2,2] |
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只是普通的麦克唐纳多项式，按照（5）分解，并且从表中省略。
尽管（15）是从拓扑轨迹的继承中可以预期的相对较小的一部分，但属性（14）看起来相当壮观和神秘。 其理解能够提供有关GMP和完整性猜测的新见解。GMP与结式（超）多项式相比，明显更简单，更接近常规群理论{和（14）自然比人们可以预期的通用结更具结构性，然而，其对的延续已经可以是更一般的类型。
因式分解不会在任何的变形到非消失的，也不会存在到，的变形：
（17）
而在A = 0时，我们返回一个很好的因式分解
（18）
作为A系列，比例的合乎逻辑的对数是：
（19）
r.h.s.的第一项 类似于（14）中的Q线性项。 另一个惊喜是，第二项也是因数分解的，而真正糟糕的事情只能以的顺序发生。
随着分解，舒尔函数满足柯西公式：
（20）
在最简单的Schur多项式的情况下（其中只有单线Young图，即纯对称表示）起作用，这种特性和分解的组合提供了一个显着的乘积公式，确定了t指数和Pochhammer符号：
（21）
这也可以看作是结构层的欧拉特性的
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