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广义变分问题与Birkhoff方程
摘要：本文以阿格拉瓦的新算符为基础，提出了一类广义分数阶Birkhoffian方程。通过选择不同的参数集，我们可以分别从Riemann–Liouville、Caputo、Riesz和Riesz-Caputo分数导数的角度得到六类Birkhoffian方程。前面的结果可以作为一个特例得到。
关键词：Birkhoffian方程，变分法，分数导数
1 介绍
变分法处理的是函数的极值，也就是函数域是一组函数的函数的极小化或最大化。它是优化理论的一个古老分支，在物理、工程、动力学和控制理论中有许多应用[1,2]。最近在科学、工程和应用数学领域的发展表明，自然界中的许多现象被更精确地建模[3-10]。在过去的20年里，分数问题越来越引起了许多研究者的注意[11-29]。分数微积分最显著的应用之一，然而，在分数变分微积分，在经典力学的背景下出现。1996年，Riewe[30,31]通过考虑依赖于分数阶导数的拉格朗日，推广了通常的变分微积分，以处理摩擦等非保守力。从那时起，发展了几种不同的方法来推广最小作用原理和欧拉-拉格朗日方程，使其包含分数阶导数。结果包括依赖于Riemann–Liouville分数导数、Caputo分数导数、Riesz分数导数和Riesz-Caputo分数导数的问题[32–34]
1927年，美国数学家Birkhoffian[35]在他的著名著作中提出了一种新的形式积分变分原理，并给出了一个新的运动方程。1978年，美国物理学家桑蒂利[36,37]研究了Birkhoffian方程及其转换理论。Galiullin[38]指出研究Birkhoffian动力学是现代分析力学的一个重要发展方向和梅等人。[39]构建了Birkhoffian动力学的理论框架。从那时起，Birkhoffian动力学研究取得了重大进展[40–47]。它可应用于量子力学、统计力学、原子分子物理、强子物理、生物物理等领域。近年来，分数Birkhoffian动力学引起了一些研究者的注意，张[48]提出了类似于pfaffian变分原理的作用，并利用Ei-Nabulsi的分数模型研究了对称性和守恒量。罗[49]利用组合分数导数的定义提出了一个统一的分数pfaff–birkhoff原理，并分别用黎曼–liouville、caputo、riesz和riesz–caputo分数导数推导出了birkhoffian方程。
Agrawal[50]引入了三个新的算子，并定义了一类新的变分问题，在特殊情况下，分别用左、右分式Riemann–Liouville、Caputo、Riesz、Riesz–Caputo导数将其归结为分式变分问题。本文的主要目的是利用阿格拉瓦的新算符得到分数阶变分问题的Birkhoffian运动方程。通过选择特定的参数集和核，可以得到数学物理文献中的最新结果。本论文的设计方案如下：第二节，简介分数积分和导数的一些定义及其基本性质的总结。第三节，介绍了广义分数算子，和，并给出了基本结果。这篇论文的主要贡献出现第四节：在新的微分算子的基础上，建立了分数birkhoffian方程。最后，在第五节中给出了结论。
2分数积分和导数及其性质
在本节中，我们简要回顾了左、右Riemann–Liouville分式积分和Riesz分式积分以及Riemann–Liouville、Caputo和Riesz-Caputo分式导数的几种定义。
定义为[11]的函数的阶的左、右Riemann–Liouville分数积分。
和
其中表示伽马函数，Riesz式定义为
从等式（1）-（3），可知
使用等式(1)和(2)，左右Riemann-liouville和Caputo导数被定义为左Riemann-liouville分数阶导数。
右Riemann-Liouville分数导数
左Caputo分数导数
右Caputo分数导数
其中D是传统的导数算子，alpha;是导数的阶数，使得nminus;1lt;alpha;lt;n。
遵循上述类比，Riesz分数导数
Riesz-Caputo分数导数
使用等式(4)和(5)-(10),由此得出结论
和
在接下来的讨论中，我们将需要分式积分的公式。这些公式给出了
以上这些公式可以用等式(5)-(10)导出以及变形(19)
和部分整合。
3新算子及其性质
为了方便起见，我们简要介绍一下定义和属性。首先，考虑一个新的alpha;阶积分算子，定义如下[50]
其中是一个参数集，是一个可能依赖于参数alpha;的核，参数p和q是两个实数。
显然，算子是一个线段。即如果和是两个函数，则
特别地，对于核心，
如果，则
是alpha;阶f(t)的左Riemann-Liouville分数积分。
如果，则
是alpha;阶f(t)的右Riemann-Liouville分数积分。
如果，则
是alpha;阶f(t)的Riesz分数积分。
算子满足以下性质：
性质1算子满足下列公式
其中并且。
性质2算子和满足下列公式的分段积分，
其中并且。
其次，考虑两个新的微分算子和，它们的定义如下
其中D是传统的导数算子，，这里n是整数，。
上述两个新的微分算子也是线性的，即，如果和是两个函数，则
算子和满足下列性质：
性质3 和满足下列按部件积分的公式
其中f(T)和g(T)是充分光滑函数，，和。
对于新算子和，我们有以下关系。
4固定端变分问题的Birkhoff方程
在这一节中，我们发展了具有固定端条件的变分问题的Birkhoff方程。首先，我们考虑了新的分数阶微分算子的Pfaff作用。
这个问题的定义如下：在所有函数中，满足终端条件的nu;(T)
查找函数的函数
是一个极值，其中。
给出了这个问题的Birkhoff方程
方程(36)可利用标准变分微积分书籍中提出的技术和上述恒等式导出。为了完整起见，下面简要地给出了这个推导。到完成这个任务，我们定义
当是期望的最优解时，是无穷小参数，是任意函数，但它满足
带等式(37)进入等式(35)利用条件(38)，J成为的一个函数。这个J是=0处的极值。区分与有关的J并将结果设置为零，我们得到
使用交换关系，我们有
代等式(40)进入等式(39)我们有
根据积分区间[t1，t2]的任意性，我们得到
方程(42)称为分数Pfaff-Birkhoff-Dalembert原理，用新的分数算子定义。
根据的独立性，我们得到了
方程(43)称为Birkhoffian方程，用新的分数算子和定义。
如果核，则参数p和q分别取差。对于不同的分数导数，我们可以得到几种形式的分数Birkhoff方程。
例1：如果，我们有
使用等式(43)，我们获得
方程(46)称为用左Riemann-Liouvolle分数阶导数定义的Birkhoffian方程。
例2：如果，我们有
使用等式(43)，我们获得
方程(49)是用右Riemann-Liouvolle分数阶导数定义的Birkhoffian方程。
例3：如果，我们有
使用等式(43)，我们获得
方程(52)称为用Riesz分数阶导数定义的Birkhoffian方程。
其次，我们考虑了新的分数阶微分算子的Pfaff作用。
是一个极值，其中。
按照上述类比，利用泛函(53)的同时变化，我们有
考虑交换关系，则
代等式(55)进入等式(54)，我们有
根据积分区间[t1，t2]的任意性，我们得到
方程(57)称为分数阶Pfaff-Birkhoff-Dalembert原理，由新的分数算子定义。
根据的独立性，我们得到了
方程(58)由新的分数算子和定义，称为Birkhoffian方程。
例4：如果，我们有
使用等式(58)，我们获得
方程(61)称为用左Caputo分数阶导数定义的Birkhoffian方程。
例5：如果，我们有
使用等式(58)，我们获得
方程(64)被称为Birkhoffian方程，它是用右Caputo分数阶导数定义的。
例6：如果，我们有
使用等式(58)，我们获得
方程(67)称为Birkhoffian方程，用Riesz-Caputo分数阶导数定义。
分数阶Birkhoff方程(43)和(58)是本文的主要结果。当参数p和q分别取不同的值时，我们进一步得到了六种形式的Birkhoff方程。 (46)、(49)、(52)、(61)、(64)和(67)分别用Riemann-Liouville、Capputo、Riesz、Riesz-Caputo分数导数定义。特别是，如果0lt;alpha;lt;1，即n=1，则我们立即获得
方程(68)-(73)只是文献[49]的结果。
5 结论
本文通过考虑分数阶微分算子和的Pfaff作用，建立了两种形式的分数阶Birkhoff方程。当参数p和q取不同的值时，我们可以得到六种形式的分数Birkhoff方程。文献[49]的结果可以作为一个特例得到。
感谢 我们向编辑和评论员表达我们真诚的想法，感谢他们的宝贵意见。这项工作得到了国家自然科学基金10872037，117号的资助。 42063和安徽省自然科学基金批准号070416226。
参考
1. Lanczos, C.: The Variational Principles of Mechanics.
Oxford University Press, London (1957)
2. Logan, J.D.: Invariant Variational Principles. Academic
Press, New York (1977)
3. Oldham, K.B., Spanier, J.: The Fractional Calculus. Academic Press, New York (1974)
4. Miller, K.S., Ross, B.: An Introduction to the Fractional
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York (1993)
5. Gao, X.Y.: Comment on “Solitons, Bauml;cklund transformation, and Lax pair for the (2 1)-dimensional Boiti–Leon–
Pempinelli equation for the water waves” [J. Math. Phys.
51, 093519 (2010)]. J. Math. Phys. 56, 014101 (2015)
6. Gao, X.Y.: Variety of the cosmic plasmas: general variablecoefficient Korteweg–de Vries–Burgers equation with
experimental/observational support. EPL 110, 15002 (2015)
7. Gao, X.Y.: Bauml;cklund transformation and shock-wave-type
solutions for a generalized (3 1)-dimensional variablecoefficient B-type Kadomtsev–Petviasvili equation in fluid
mechan
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