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期权定价和公司债务
费希尔·布莱克 迈伦·斯科尔斯
如果期权在市场上被正确定价，那么就不可能通过建立期权及其基础（底层）股票的多头和空头组合来确保利润。使用该原则，可推导出一个理论上的期权估值公式。既然几乎所有的公司债务都可视为期权的组合，那么该公式及分析也适用于普通股、公司债、认股权证。特别地，因为存在违约的可能性，公式可适用于公司债券的贴现计算。
引言
期权是一种在特定时间、特定条件下，购买或出售某种标的资产的权利。美式期权可以在到期日前任意时间行权，而欧式期权只能在未来特定日期行权。期权在行权对资产所支付的价格称为“执行价格”或者“敲定价格”。期权可行权的最后一天称为到期日或期满日。
最简单的期权就是赋予购买一股普通股股票的权利。本文大部分我们都讨论通常被称为看涨期权的这种期权。
一般来说，股价越高，期权的价值越大。当股价远大于执行价格时，期权几乎肯定会被执行。期权的现值将近似等于股价减去到期日与期权同一天到期的纯贴现债券的价格，其面值等于期权的执行价格。
另一方面，如果股价远低于执行价格，期权到期时几乎肯定不会被执行，因此，其价格将接近于零。
如果期权到期日很远，那么在到期日支付执行价格的债券价格将很低，期权的价值就近似等于股价。
如果期权到期日很近，期权的价值就近似地等于股价减去执行价格，而如果股价小于执行价格，期权价值则为零。通常来说，如果股价不变，期权价值就会随着到期日的临近而降低。
期权价值与股价之间关系的一般特征可以用图1来描述。线A反映了期权价值的最大值，因为它不可能高于股价，线B反映了期权价格的最小值，因为它不可能为负，也不可能小于股价减去执行价格，线T1、T2和T3代表连续较短到期日的期权价值。
通常来说，表示期权价值的曲线是向上凹的。由于它位于45度线A下方，可以看出期权比股票更不稳定。保持到期期限不变，股价变动一定比例，将导致期权价值变动比例更大。但是，期权的相对不稳定性不是恒定的，它取决于股价和到期日。从前关于期权估值的大部分研究工作都是用认股权证来表达的。例如， Sprenkle (1961)， Ayres (1963)， Boness (1964)， Samuelson (1965)， Baumol， Malkiel和Quandt (1966)以及Chen (1970)都建立了形式基本相同的估值公式。但是他们的公式是不完善的，因为都涉及一个或多个任意的参数。
例如， Sprenkle的期权估值公式如下:
在该表达式中，x是股价，c为执行价格，t*是到期日，t是当前日，v2是股票收益的方差比率，ln是自然对数，N(b)是累积正态密度函数，但k和k*是未知参数。Sprenkle把k定义为认股权证到期时对股价的预期价值与股票当前价格的比率，k*是取决于股票风险的贴现因子。他试图经验地估计k和k*的价值，但发现他没法做到。
更典型的是，萨缪尔森(1965)的公式中含有未知参数alpha;和beta;，alpha;是股票的预期收益率，beta;是认股权证的预期收益率或是应用在认股权证中的贴现率。他假定当认股权证到期时股票可能的价值分布是对数正态分布，取其期望值并将它在执行价格中减去，然后用比率beta;将期望值贴现成现值。遗憾的是，在资本市场条件下似乎没有证券定价模型使对认股权证的定价成为合适的程序。
在后面的论文中，萨缪尔森和默顿(1969)认识到当认股权证执行时对其可能价值分布的期望值进行贴现不是一种合适的程序。他们提出把期权价值作为股价的函数来推进该理论。他们认识到贴现率部分是由投资者愿意持有所有期权和股票两者的未偿还金额的要求所决定的。但他们没能利用投资者必须也持有其它资产的事实，因此影响其贴现率的期权或股票的风险只是无法分散的那部分风险。他们最终的公式取决于针对典型投资者所假设的效用函数的形状。
Thorp 和Kassouf (1967)表达了我们发展我们的模型中所使用的一个概念。他们通过拟合认股权证的实际价格得到一个经验估值公式，然后利用该公式计算股份对期权的比率，这个比率是创造套利头寸，也就是在一种证券中做多而在另一种证券中做空所需要的。他们未想到在均衡条件下，这种对冲头寸的预期回报应该等于无风险资产的收益。下面展示的就是这个均衡条件可被用来推导理论的估值公式。
估值公式
为了用股价推导期权估值公式，我们假设股票和期权市场存在以下的理想条件:
a)短期利率已知并且固定。
b)股价变动在连续时间内遵循随机过程，其方差比率与股价的平方成比例。因此在任一有限时间间隔末期可能的股价的分布是对数正态分布，股票收益的方差比率是不变的。
c)股票不支付付红利或其他分配。
d)期权是欧式期权，即只能在到期日行权。
e)买卖股票或期权无交易成本。
f)以短期利率借证券任意部分的价格来买入或持有证券是可能的。
g)卖空无罚款。没有证券的卖方只是简单地接受买方的价格，并同意在将来的某一时期支付给买方等于证券价格的数量的证券。
在这些假设条件下，期权的价值将只取决于股价、时间和其他被视为已知常数的变量。这样，建立一个包含股票多头和期权空头的对冲头寸是可能的，其价值将不取决于股价，只取决于时间和已知常量的价值。令期权的价值w(x，t)为股价x和时间t的函数，对应一份股票多头必须卖出的期权空头的数量为:
下标表示对其中第一个自变量的偏导数。
可以看出这种对冲头寸的价值不取决于股价，当股价变动较小时，期权价值变动对股价变动的比率为w1(x，t)。取一阶近似，如果股价变动△x，那么期权价值将变动w1(x，t)△X，表达式(1)中的期权价值改变量为△X。这样，多头股票的价值变动将被l/w1份空头期权的价值的变动所抵消。
随着变量x和t的变动，卖空期权的数量会减少，从而来建立一个股价变动的套利头寸。如果套利保持不变，则上述近似值就变得精确，套利头寸的收益就完全独立于股价变动。事实上，套期保值头寸的收益就变成确定。
为说明套利头寸的形成，让我们参考图1中的实线T2。假设股价在15美元开始，那么期权价值在5美元开始。又假设在该点的斜率为1/2。这意味着套利头寸由买入一股股票、卖出两份期权所建立。买入一股股票花费15美元，卖出两份期权收入10美元，所以该头寸的股权价值为5美元。
如果套利头寸没有随股价变动而改变，那么在有限时间结束时，股权的价值会存在一些不确定性。假设当股价从15美元变成20美元时，两份期权的价值从10美元变成15.75美元，而当股价从15美元降到10美元时，两份期权的价值将从10美元变成5.75美元。这样，股权价值将从5美元变成4.25美元，无论股价在哪个方向上变动5美元。也就是说，股价在任意方向上变动5美元，都会使股权价值下降0.75美元。
此外，曲线将随着期权有效期的改变而移动(在图1中从T2移到T3)。期权价值下降意味着套利头寸的股权的增加，并有助于抵消股价大幅变动可能带来的损失。
请注意，由于股价大幅波动而导股权价值的下降是小的。随着股价变动幅度变小，股权价值的减少对股价变动幅度的比率也越小。
还请注意，股权价值变动方向与股价变动方向是无关的。这意味着在股价遵循连续的随机游走和收益不变的方差比率的假设下，股权收益与股票收益之间的协方差将为零。如果股价和市场证券组合的价值遵循具有协方差比率不变的联合连续随机游走，这意味着股权收益与市场收益之间的协方差将为零。
因此，不断调整期权的空头头寸就能使套利头寸的风险为零。如果头寸不连续调整，风险也很小，并且所包含的整个风险可通过建立大量套利头寸的证券组合而分散掉。
一般来说，套利头寸包括一股股票的多头和1/w1份期权空头，该头寸中股权价值为:
在短时间间隔内股权价值的改变为:
假设空头的头寸连续变化，我们可以运用随机计算来展开，也就是：
（4）中，w的下标指的是偏导数，v2为股票收益的方差比率。将（4）式代入（3）式可得套利头寸中股权价值的变动为：
因为套利头寸中股权回报是确定的，它必须等于。即使套利头寸没有连续变化，它的风险也很小，可以完全分散掉。因此套利头寸的预期收益率必须等于短期利率。如果这不是真的，投机者会通过借入大量资金来创造这样的套利头寸而获利，这一过程将使收益率降到短期利率。
因此，(5)式中股权的变动量必须等于(2)式中股权的价值乘以，即
两边约去并整理，就得到期权价值的微分方程:
令t*为期权的到期日，c为执行价格，可知
在边界条件(8)下，只有唯一解w(x，t)满足微分方程(7)。这个w(x，t)就是期权的估值公式。
为解此微分方程，作以下代换：
代换后微分方程变为：
边界条件则变成：
微分方程(10)是物理传热方程，它的解由Churchill给出。采用我们的符号，方程(10)的解如下:
将（12）式代入（9）式并化简，我们可以得到
在(13)式中， N(d)是累积正态密度函数。
注意，在(13)式中不含股票的预期收益。作为股价函数的期权价值独立于股票的预期收益，但期权的预期收益将取决于股票的预期收益。通过(13)式的函数关系，股价上升的得越快，期权价格上升得也越快。
注意，公式中的有效期(t*-t)只是被利率r或者方差比率v2来乘。因此有效期的增加像v2和r同等百分比增加那样对期权价值有相同的影响。
默顿(1973)曾指出(13)式中给出的期权价值随着t*、r或v2任一变量的增加而连续地增加。在每种情况下它的最大值等于股价。
估值公式的偏导w1决定了如表达式(1)内的套利头寸中股份对期权的比率。对(13)式取偏导数并化简，得到
W1(x.t)= N(d1) (14)
在(14)式中，d1的定义同(13)式。
从(13)和(14)中可清楚地看出xw1/w总是大于1，这表明了期权总是比股票更不稳定。
另一种推导
运用资本资产定价模型也能够推导出微分方程(7)。提供这种方法因为它可以帮助我们更好理解取决于时间和股价两者的贴现率对期权价值进行贴现的方法。
资本资产定价模型描述了市场均衡条件下资本资产的风险和预期收益之间的关系。一种资产的预期收益给出了必须用于资产的期末价值来得出其现值的贴现。因此资本资产定价模型提供了在不确定条件下进行贴现的一般方法。
资本资产定价模型指出，一种资产的预期收益是它的beta;的线性函数，beta;被定义为资产收益与市场收益的协方差除以市场收益的方差。从方程(4)可以看出期权收益0w/w与市场收益的协方差等于乘以股票收益与市场收益的协方差。因此，期权的beta;与股票的beta;之间有如下关系:
xw1/w也可以解释为期权价格对应于股价的弹性。它是在保持到期日不变前提下，对于小的百分比变动，期权价格的百分比变动与股价百分比变动的比率。
为了把资本资产定价模型应用于期权和基础股票，让我们首先把alpha;定义为市场预期收益率减去利率，则期权和股票的预期收益率分别为:
将(17)式乘以w，并把(15)式代入，得到
运用随机计算，将展开如下:
对(19)式取期望，把(16)式中的代入，有
结合(18)和(20)式，可得:
方程(21)式与(7)式相同。
更加复杂的期权
估值公式(13)是在期权只能在时间t*执行的假设下得出的。默顿(1973)指出，期权的价值总是大于它立即执行所具有的价值(x-c)。因此，一个理性投资者在到期日之前不会执行看涨期权，美式看涨期权的价值与欧式看涨期权的价值是相同的。
对公式作简单修改即同样适用于欧式看跌期权。定义u(x， t)为看跌期权的价值，我们看到微分方程仍然没有改变:
但边界条件变为：
为了得到带有新边界条件的微分方程的解，我们只要注意到相同股票的看涨期权和看跌期权之间的差别。如果两者只能在到期日执行，它们一定遵循相同的微分方程，但具有的边界条件如下:
带有此边界条件的微分方程的解是：
所以欧式看跌期权的价值为：
将（13）式代入上式，并且注意到1-N(d)=N(-d)，因此有：
（27）式中d1和d2的定义与（13）式中相同。
方程(25)也给出了欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的关系。如果投资者同时买入一份看涨期权，卖出一份看跌期权，其收益就好像用保证金购买股票，并
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